Liczby Stirlinga

[mateusz259]

Mam takie zadanie

Sprwadź, która liczba jest większa:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} n \\ 3 \end{bmatrix}}\) czy \(\displaystyle{ \left\{ \begin{matrix} n\\ 3\\ \end{matrix} \right\}}\)

Gdyby zamiast \(\displaystyle{ n}\) była jakaś liczba to oczywiście wiem jak mam to rozwiązać, ale w takim wypadku ?
Proszę o pomoc.

[Qń]

Zawsze zachodzi:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix}\ge \left\{ \begin{matrix} n\\ k \end{matrix} \right\}}\)
co łatwo wynika z interpretacji kombinatorycznej: w przypadku liczb Stirlinga II rodzaju pytamy o ilość podziałów na \(\displaystyle{ k}\) podzbiorów (kolejność elementów jednego podzbioru nie ma znaczenia), a w przypadku liczb Stirlinga I rodzaju pytamy o ilość podziału na \(\displaystyle{ k}\) cykli (kolejność elementów jednego cyklu ma znaczenie).

Q.

[mateusz259]

Dziękuję za odpowiedź,

a gdyby liczby te wyglądały na przykład tak :

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} n \\ 3 \end{bmatrix}}\) \(\displaystyle{ \left\{ \begin{matrix} n+2 \\ 3\\ \end{matrix} \right\}}\)

To istnieje jakiś sposób na sprawdzenie tego, która z nich jest większa ?-- 4 cze 2014, o 16:09 --Mam jeszcze pytanie, jak wyznaczyć liczbę:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3 \\ k \end{bmatrix}}\)

??

[Qń]

a gdyby liczby te wyglądały na przykład tak :
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} n \\ 3 \end{bmatrix}}\) \(\displaystyle{ \left\{ \begin{matrix} n+2 \\ 3\\ \end{matrix} \right\}}\)
To istnieje jakiś sposób na sprawdzenie tego, która z nich jest większa?

Wtedy znajdujemy najmniejsze \(\displaystyle{ n}\) dla którego pierwsza liczba jest większa (trzeba zrobić to ręcznie, licząc kolejne wartości) i wnioskujemy, że dla wszystkich kolejnych \(\displaystyle{ n}\) też będzie większa, bo liczby Stirlinga I rodzaju rosną szybciej niż II rodzaju.

Mam jeszcze pytanie, jak wyznaczyć liczbę:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3 \\ k \end{bmatrix}}\)

A z czym masz tu problem? Dla jakiego \(\displaystyle{ k}\) nie potrafisz obliczyć wartości?

Q.

[mateusz259]

Czyli mając zadanie :

Oblicz
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3 \\ k \end{bmatrix}}\)

Muszę po prostu policzyć wszystkie liczby dla \(\displaystyle{ k \le 3}\), tak ?

[musialmi]

To zadanie jest dziwne, można się tylko domyślać o co w nim chodzi. "Oblicz" zawsze nakazuje wskazanie wartości, a tutaj dokładniejszej niż jest dana nie da się podać.

@down

[Qń]

Da się:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3 \\ k \end{bmatrix}=
\begin{cases}
2 \ \textrm{dla} \ k=1\\
3 \ \textrm{dla} \ k=2\\
1 \ \textrm{dla} \ k=3\\
0 \ \textrm{w pozostałych przypadkach}
\end{cases}}\)

Lub krócej z notacją Iversona:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3 \\ k \end{bmatrix}= (k\textrm{mod} 3 +1 )\cdot [1\le k\le 3]}\)

Q.