funkcje tworzące

[waliant]

Jak zrobić takie zadanka:

1) Znajdź funkcję tworzącą ciągu określonego następująco: \(\displaystyle{ a _{0}=1}\) , \(\displaystyle{ a _{n}= \sum_{i=0}^{n-1} a _{i}}\) dla \(\displaystyle{ n>0}\)



2) Znajdź ogólny wyraz ciągu, którego funkcją tworzącą jest \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{2-3x+x^{2}}}\)


Proszę o pomoc.

[Qń]

W pierwszym wystarczy zauważyć, że dla \(\displaystyle{ n>1}\)
\(\displaystyle{ a_{n} = \sum_{i=0}^{n-1}a_i= a_{n-1}+ \sum_{i=0}^{n-2}a_i = a_{n-1}+a_{n-1}=2a_{n-1}}\)
skąd wynika, że począwszy od \(\displaystyle{ a_1=1}\) ciąg jest geometryczny o ilorazie \(\displaystyle{ 2}\).

W drugim natomiast wystarczy rozłożyć funkcję wymierną na ułamki proste i rozwinąć te ułamki proste w szereg.

Q.

[waliant]

w takim razie jak będzie wyglądała ta funkcja w pierwszym zadaniu?

[Qń]

Ale z czym masz problem - z wyznaczeniem wzoru na \(\displaystyle{ a_n}\), z podstawieniem go do wzoru definiującego funkcję tworzącą, czy też ze zwinięciem szeregu?

Q.

[waliant]

no mam \(\displaystyle{ a _{n}=2 ^{n}}\) i nie wiem jak dalej to wstawić

[Qń]

no mam \(\displaystyle{ a _{n}=2 ^{n}}\)

Nie, \(\displaystyle{ a_n=2^{n-1}}\) dla \(\displaystyle{ n>0}\) oraz \(\displaystyle{ a_0=1}\).

i nie wiem jak dalej to wstawić

A wiesz w ogóle co to jest funkcja tworząca?

Q.

[waliant]

Więc mamy : \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }2 ^{n}x ^{n+1}=x \sum_{n=0}^{ \infty } \left( 2x\right) ^{n} = \frac{x}{1-2x}}\) ?

-- 4 cze 2014, o 10:04 --

w drugim zadaniu mam:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2-3x+x^{2}}= \frac{1}{x-2}- \frac{1}{x-1}=- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1- \frac{x}{2} } + \frac{1}{1-x}=- \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{ \infty }\left( \frac{x}{2} \right) ^{n} + \sum_{n=0}^{ \infty } x ^{n}= \sum_{n=0}^{ \infty } \left( \left( - \frac{1}{4} \right) ^{n}+1 \right)x ^{n}}\)


stąd \(\displaystyle{ a _{n}= \left( - \frac{1}{4} \right) ^{n}+1 \right)}\)

[musialmi]

Czy błędnie rozwiązałem kawałek tego pierwszego?
\(\displaystyle{ a_{0}=1}\)

\(\displaystyle{ a_{1}= \sum_{i=0}^{0} a_{i}=a_{0}=1}\)

\(\displaystyle{ a_{2}= \sum_{i=0}^{1} a_{i}=a_{0}+a_{1}=1+1=2}\)

\(\displaystyle{ a_{n}=n}\)
Wtedy nie zgadza się to z rozwiązaniem Qńa, ale nie wiem gdzie leży mój błąd.

waliant, w tym drugim, na końcu powinno być:


\(\displaystyle{ - \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{ \infty }\left( \frac{x}{2} \right) ^{n} + \sum_{n=0}^{ \infty } x ^{n}= \sum_{n=0}^{ \infty } - \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2^{n}}\cdot x^{n}+x^{n}}\)

Z tą jedną czwartą jest błąd, zagapiłeś się.
PS Nasi nauczyciele korzystają z tych samych zbiorów zadań, bo już kolejny raz widzę u ciebie te same zadania, co u mnie na zajęciach ;p

[Qń]

Więc mamy : \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }2 ^{n}x ^{n+1}=x \sum_{n=0}^{ \infty } \left( 2x\right) ^{n} = \frac{x}{1-2x}}\) ?[/latex]

Prawie, powinno być:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n = 1+ \sum_{n=1}^{\infty}2^{n-1}x^n =1+ \sum_{n=0}^{\infty}2^{n}x^{n+1}}\)

W drugim zadaniu już zwrócono Ci uwagę na błąd w końcówce.

Czy błędnie rozwiązałem kawałek tego pierwszego?
\(\displaystyle{ a_{0}=1}\)
\(\displaystyle{ a_{1}= (...)=1}\)
\(\displaystyle{ a_{2}= (...)=2}\)
\(\displaystyle{ a_{n}=n}\)

Odpowiem dowcipem z brodą:
Matematyk, Fizyk i Inżynier otrzymali identyczny problem do rozwiązania:
Udowodnić, ze wszystkie liczby nieparzyste większe niż dwa są pierwsze.
Rozwiązali:
Matematyk: \(\displaystyle{ 3}\) jest liczba pierwszą, \(\displaystyle{ 5}\) jest pierwszą, \(\displaystyle{ 7}\) też, \(\displaystyle{ 9}\) już nie - sprzeczność - twierdzenie jest fałszywe.
Fizyk: \(\displaystyle{ 3}\) jest liczbą pierwszą, \(\displaystyle{ 5}\) jest pierwszą, \(\displaystyle{ 7}\) tez, \(\displaystyle{ 9}\) już nie - błąd przypadkowy eksperymentu, \(\displaystyle{ 11}\) jest pierwszą...
Inżynier: \(\displaystyle{ 3}\) jest liczba pierwszą, \(\displaystyle{ 5}\) jest pierwszą, \(\displaystyle{ 7}\) też, \(\displaystyle{ 9}\) jest pierwszą, \(\displaystyle{ 11}\) jest pierwszą..

Ty postępujesz jak fizyk - równość \(\displaystyle{ a_0=1}\) uznajesz za przypadkowy błąd eksperymentu, a następnie na podstawie dwóch elementów \(\displaystyle{ a_1,a_2}\) które potwierdzają hipotezę \(\displaystyle{ a_n=n}\) uznajesz hipotezę za udowodnioną.

W analogiczny sposób można by udowodnić, że dowolna liczba naturalna jest rozwiązaniem równania kwadratowego \(\displaystyle{ n^2-3n+2=0}\) - wszak dla \(\displaystyle{ n=1}\) i \(\displaystyle{ n=2}\) się zgadza... :]

Q.

[musialmi]

Haha, o Jezu. Z jakiegoś powodu zdawało mi się, że \(\displaystyle{ 1=2}\). No ale nieważne. Porażka.

Swoją drogą, skąd wynika różnica, którą pokazałeś w pierwszej linijce swojego postu? Że wzór na sumę nieskończoną działa dla sumowania od \(\displaystyle{ a_{1}}\)?