Funkcja tworząca

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
mateusz259
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 15 sty 2014, o 12:41
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 4 razy

Funkcja tworząca

Post autor: mateusz259 »

Bardzo proszę o jakiekolwiek wyjaśnienie, najlepiej krok po kroku jak otrzymać ciąg z danej funkcji tworzącej i na odwrót. Czytałem o tym na wielu stronach ale wszystko jest napisane bardzo technicznym językiem, który do mnie nie przemawia. Najlepsze byłoby pokazanie tego na jakimś przykładzie i omówienie każdego kroku. Bardzo proszę o pomoc.
bartek118
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5974
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Funkcja tworząca

Post autor: bartek118 »

Jak mam funkcję tworzącą:
\(\displaystyle{ \mathcal{A} (t) = \sum_{n =0}^\infty a_n t^n}\)
to mam ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\). Na odwrót mając ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) możemy napisać powyższy szereg potęgowy.
mateusz259
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 15 sty 2014, o 12:41
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 4 razy

Funkcja tworząca

Post autor: mateusz259 »

A mogę prosić o pokazanie tego na jakimś przykładzie ? Np. \(\displaystyle{ \frac{x^{2} }{1 - 3x}}\) ?
bartek118
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5974
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Funkcja tworząca

Post autor: bartek118 »

Rozwijamy funkcję w szereg potęgowy:
\(\displaystyle{ \frac{x^{2} }{1 - 3x} = x^2 \sum_{n=0}^\infty (3x)^n = \sum_{n = 0}^\infty 3^n x^{n+2}}\)
Stąd odczytujemy ciąg:
\(\displaystyle{ a_{0} = a_{1} = 0 \\
a_{n} = 3^{n-2}}\)
mateusz259
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 15 sty 2014, o 12:41
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 4 razy

Funkcja tworząca

Post autor: mateusz259 »

Rozwinięcie funkcji w szereg potęgowy rozumiem, ale skąd odczytujemy ten ciąg ? Bo nie bardzo to widzę
bartek118
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5974
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Funkcja tworząca

Post autor: bartek118 »

Porównujemy szeregi:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = \sum_{n=0}^\infty 3^n x^{n+2}}\)

Przy \(\displaystyle{ n}\)-tej potędze \(\displaystyle{ x}\) stoi \(\displaystyle{ n}\)-ty wyraz ciągu.
mateusz259
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 15 sty 2014, o 12:41
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 4 razy

Funkcja tworząca

Post autor: mateusz259 »

Już wszystko rozumiem dziękuję.-- 3 cze 2014, o 14:48 --A mam jeszcze pytanie odnośnie takiej funkcji : \(\displaystyle{ \frac{x}{1+2x}}\)

Rozwiązałem to tak:

\(\displaystyle{ \frac{x}{1+2x} = \frac{x}{1-(-2x)} = x \sum_{n=0}^{ \infty } (-2x) ^{n} = \sum_{n=0}^{ \infty } -2 ^{n}x ^{n+1} = 1x + 2x ^{2} - 4x ^{3} + 8x ^{4} -/+ ...}\)

Czyli ciąg to \(\displaystyle{ a _{n} = -2 ^{n-1}}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\)

Jest dobrze ?
ODPOWIEDZ