Funkcja tworząca
-
- Użytkownik
- Posty: 32
- Rejestracja: 15 sty 2014, o 12:41
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 4 razy
Funkcja tworząca
Bardzo proszę o jakiekolwiek wyjaśnienie, najlepiej krok po kroku jak otrzymać ciąg z danej funkcji tworzącej i na odwrót. Czytałem o tym na wielu stronach ale wszystko jest napisane bardzo technicznym językiem, który do mnie nie przemawia. Najlepsze byłoby pokazanie tego na jakimś przykładzie i omówienie każdego kroku. Bardzo proszę o pomoc.
-
- Użytkownik
- Posty: 5974
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
Funkcja tworząca
Jak mam funkcję tworzącą:
\(\displaystyle{ \mathcal{A} (t) = \sum_{n =0}^\infty a_n t^n}\)
to mam ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\). Na odwrót mając ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) możemy napisać powyższy szereg potęgowy.
\(\displaystyle{ \mathcal{A} (t) = \sum_{n =0}^\infty a_n t^n}\)
to mam ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\). Na odwrót mając ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) możemy napisać powyższy szereg potęgowy.
-
- Użytkownik
- Posty: 32
- Rejestracja: 15 sty 2014, o 12:41
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 4 razy
Funkcja tworząca
A mogę prosić o pokazanie tego na jakimś przykładzie ? Np. \(\displaystyle{ \frac{x^{2} }{1 - 3x}}\) ?
-
- Użytkownik
- Posty: 5974
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
Funkcja tworząca
Rozwijamy funkcję w szereg potęgowy:
\(\displaystyle{ \frac{x^{2} }{1 - 3x} = x^2 \sum_{n=0}^\infty (3x)^n = \sum_{n = 0}^\infty 3^n x^{n+2}}\)
Stąd odczytujemy ciąg:
\(\displaystyle{ a_{0} = a_{1} = 0 \\
a_{n} = 3^{n-2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{x^{2} }{1 - 3x} = x^2 \sum_{n=0}^\infty (3x)^n = \sum_{n = 0}^\infty 3^n x^{n+2}}\)
Stąd odczytujemy ciąg:
\(\displaystyle{ a_{0} = a_{1} = 0 \\
a_{n} = 3^{n-2}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 32
- Rejestracja: 15 sty 2014, o 12:41
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 4 razy
Funkcja tworząca
Rozwinięcie funkcji w szereg potęgowy rozumiem, ale skąd odczytujemy ten ciąg ? Bo nie bardzo to widzę
-
- Użytkownik
- Posty: 5974
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
Funkcja tworząca
Porównujemy szeregi:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = \sum_{n=0}^\infty 3^n x^{n+2}}\)
Przy \(\displaystyle{ n}\)-tej potędze \(\displaystyle{ x}\) stoi \(\displaystyle{ n}\)-ty wyraz ciągu.
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = \sum_{n=0}^\infty 3^n x^{n+2}}\)
Przy \(\displaystyle{ n}\)-tej potędze \(\displaystyle{ x}\) stoi \(\displaystyle{ n}\)-ty wyraz ciągu.
-
- Użytkownik
- Posty: 32
- Rejestracja: 15 sty 2014, o 12:41
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 4 razy
Funkcja tworząca
Już wszystko rozumiem dziękuję.-- 3 cze 2014, o 14:48 --A mam jeszcze pytanie odnośnie takiej funkcji : \(\displaystyle{ \frac{x}{1+2x}}\)
Rozwiązałem to tak:
\(\displaystyle{ \frac{x}{1+2x} = \frac{x}{1-(-2x)} = x \sum_{n=0}^{ \infty } (-2x) ^{n} = \sum_{n=0}^{ \infty } -2 ^{n}x ^{n+1} = 1x + 2x ^{2} - 4x ^{3} + 8x ^{4} -/+ ...}\)
Czyli ciąg to \(\displaystyle{ a _{n} = -2 ^{n-1}}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\)
Jest dobrze ?
Rozwiązałem to tak:
\(\displaystyle{ \frac{x}{1+2x} = \frac{x}{1-(-2x)} = x \sum_{n=0}^{ \infty } (-2x) ^{n} = \sum_{n=0}^{ \infty } -2 ^{n}x ^{n+1} = 1x + 2x ^{2} - 4x ^{3} + 8x ^{4} -/+ ...}\)
Czyli ciąg to \(\displaystyle{ a _{n} = -2 ^{n-1}}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\)
Jest dobrze ?