Mam do udowodnienia, parę własności związanych z liczbami Strilinga i potęg kroczących, proszę o wskazówki.
\(\displaystyle{ 1) \sum_{k=0}^{n}(-1)^k \left[ \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right]}\)
Czy to jest zero? Tak mi się jakoś wydało dziwnie, jak sobie wyobrażałem to i rozpisywałem w głowie, że będą z dodatnim znakiem liczba permutacji parzystych z ujemnym nieparzystych, stąd wyjdzie zero. Ale to tylko jakaś drobna sugestia, pewnie złe spostrzeżenie.
\(\displaystyle{ 2) \forall n\in \NN \ x^{\overline{n}}= (x+n-1)^{\underline{n}}}\)
Wiem, że to z indukcji.
Założenie: \(\displaystyle{ x^{\overline{n}}= (x+n-1)^{\underline{n}}}\)
Teza: \(\displaystyle{ x^{\overline{n+1}}= (x+n)^{\underline{n+1}}}\)
Rozpisałem tak (od prawej strony, chcę dojść do lewej), że
\(\displaystyle{ (x+n)^{\underline{n+1}} = (x+n)^{\underline{n}}(x+n-1)}\)
I jakoś to trzeba by było przekształcić:
\(\displaystyle{ (x+n)^{\underline{n}} = (x+n)(x+n-1)(x+n-2)\dots (x+n-n+1+1)(x+n-n+1) = (x+n)(x+n-1)(x+n-2)\dots (x+2)(x+1)}\)
Zaś:
\(\displaystyle{ (x+n-1)^{\underline{n}}=(x+n-1)(x+n-2)\dots(x+n-1-n+1)=(x+n-1)(x+n-2)\dots(x+1)x}\)
Zatem: \(\displaystyle{ (x+n)^{\underline{n}}=(x+n-1)^{\underline{n}} \frac{x+n}{x}}\)
Nie wiem, czy dobrze to przekształcam...
\(\displaystyle{ (x+n)^{\underline{n+1}} = (x+n-1)^{\underline{n}} \frac{x+n}{x}(x+n-1)}\)
Z założenia
\(\displaystyle{ (x+n)^{\underline{n+1}} = (x)^{\overline{n}} \frac{x+n}{x}(x+n-1)}\)
Dalej nie przekształcam już, ponieważ chyba już coś niezbyt mądrego wyszło... Gdzie błąd robię?
\(\displaystyle{ 3)}\) Wyznaczyć takie \(\displaystyle{ \alpha_k,\beta_k}\), że:
\(\displaystyle{ x^{\overline{n}} = \sum_{k} \alpha_k x^{\underline{k}} \\
x^{\underline{n}} = \sum_{k} \beta_k x^{\overline{k}}}\)
Jakieś wskazówki?
Przepraszam, że może pewnie popełniłem jakiś oczywisty błąd gdzieś.