silnia i funkcja Gamma

[Popescu]

Zakładając, że \(\displaystyle{ \alpha>0}\), jakim wzorem wyraża się \(\displaystyle{ \alpha !}\) ? Jeśli dobrze pamiętam to ma to związek z funkcją specjalną Gamma.

[yorgin]

A jak definiujesz \(\displaystyle{ \alpha !}\) dla liczb niecałkowitych?

Silnia jest funkcją określoną dla liczb naturalnych, jej uogólnieniem na liczby niecałkowite, a nawet zespolone jest funkcja Gamma Eulera \(\displaystyle{ \Gamma(x)=\int_0^\infty e^{-t}t^{x-1}\dd t}\). Dla \(\displaystyle{ x\in \NN}\) zachodzi \(\displaystyle{ \Gamma(x+1)=x!}\).

[Popescu]

Moje pytanie w gruncie rzeczy dotyczy tego jak powinno się definiować \(\displaystyle{ \alpha!}\) dla liczb niecałkowitych. Czy można rozszerzyć definicję silni w taki sposób, że przez \(\displaystyle{ \alpha!}\) rozumieć będziemy wartość funkcji gamma w punkcie \(\displaystyle{ \alpha +1}\) ?

[yorgin]

Czy można rozszerzyć definicję silni w taki sposób, że przez \(\displaystyle{ \alpha!}\) rozumieć będziemy wartość funkcji gamma w punkcie \(\displaystyle{ \alpha +1}\) ?

Funkcja Gamma jest właśnie rozszerzeniem silni na liczby niecałowite. Ale Wtedy przez \(\displaystyle{ \alpha!}\) nie można rozumieć tej "szkolej" definicji przez mnożenie co raz to mniejszych liczb, a przez całkę, którą napisałem w poprzednim poście.

[Popescu]

Oto w rzeczy samej mi chodziło, dzięki