Funkcja tworząca

[natala1302]

Bardzo proszę o pomoc, siedzę nad tymi zadaniami już kilka godzin i nadal nie mogę sobie poradzić.

1. Znaleźć jawne wzory dla ciągów spełniających poniższe warunki re-
kurencyjne.

\(\displaystyle{ (a) a _{n+2} = 4a _{n+1} - 4a _{n} , a _{0} = 3, a _{1} = 8;

(b) a _{n+3} = 4a _{n+2} - 5a _{n+1} + 2a _{n} , a _{0} = 3, a _{1} = 3, a _{2} = 4;

(c) a _{n+3} - 6a _{n+2} + 12a _{n+1} - 8a _{n} = n, a _{0} = 0, a _{1} = 0, a _{2} = −1.}\)

A następnie znaleźć funkcje tworzące tych ciągów.

2. Znaleźć związek pomiędzy funkcjami tworzącymi ciągów
\(\displaystyle{ (a _{n} ) i (b _{n}).

(a) a _{n+1} = b _{n} , n ≥ 0.

(b) a _{n} = nb _{n} , n ≥ 0.

(c) a _{n} = \sum_{n}^{i=0} b _{i} , n ≥ 0.}\)

[lemoid]

Rozpiszę Ci początek a).
\(\displaystyle{ f(x) = \sum\limits_{n=0}^{\inf} a_{n} x^{n} = 3 + 8x + 4 \sum\limits_{n=1} a_{n-1} x^{n} - 4 \sum\limits_{n=2} a_{n-2} x^{n} = 3 + 8x + 4x \sum\limits_{n=0} a_{n-1} x^{n-1} - 4x^2 \sum\limits_{n=0} a_{n-2} x^{n-2} = 3 + 8x + 4x f(x) - 4x^2 f(x)}\)
\(\displaystyle{ f(x) = 3 + 8x + 4x f(x) - 4x^2 f(x)}\)
\(\displaystyle{ f(x) (4x^2 - 3x ) = 8x + 3}\)
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{8x + 3} {4x^2 - 3x}}\)

Jak masz wątpliwości albo nie wiesz jak ruszyć dalej to napisz.