Mam kilka banalnych wręcz pytań, co do sum i operatora różnicy.
Czy dobrze odczytuję takie zapisy?
\(\displaystyle{ 1)\sum_{1 \le k \le4}^{} b_{k-2} = b_{-1} + b_0+b_1+b_2}\)
Jak nie ma nic powiedziane to taki zapis interpretujemy jak \(\displaystyle{ k\in \NN}\).
No, czyli sumujemy tu po wskaźnikach \(\displaystyle{ 1,2,3,4}\), co wygląda jak napisałem. Czy mimo, że \(\displaystyle{ k \in \NN}\) to mogą elementy sumowane zależeć od wskaźnika ujemnego?
\(\displaystyle{ 2)\sum_{1 \le k^2 - 1 \le 20}^{} k_{k} = k_2 + k_3 + k_4}\)
Czy tutaj użycie \(\displaystyle{ k_k}\) można interpretować jako różne \(\displaystyle{ k}\), czy zapisać, że to jest \(\displaystyle{ k_k=a_k}\) i mamy czytelny zapis i nic nowego w tym przykładzie, czy chodzi o coś innego?
\(\displaystyle{ 3) \Delta(\ln n!), n\in \NN}\)
Już chyba pogubiłem się w moich myślach. Ogólnie \(\displaystyle{ \Delta f(x) = f(x+1)-f(x)}\), no ale czy ten wzór normalnie stosujemy do ciągów, czyli tutaj \(\displaystyle{ \Delta(\ln n!) = \ln (n+1)! - \ln n!}\)? Czy może to n traktujemy jako stałą, bo jakby był zapis np.
\(\displaystyle{ \Delta(\ln nx), n\in \NN}\), to zmienną jest \(\displaystyle{ x}\) i mamy:
\(\displaystyle{ \Delta(\ln nx) = \ln (n (x+1)) - \ln (nx)}\)
Stąd już nie wiem jak to rozumieć teraz.
\(\displaystyle{ 4) \Delta(m^{\underline{x}}), m\in \ZZ}\)
W ogóle zapis: \(\displaystyle{ x^{\underline{m}}, m \in \ZZ}\) jest jak najbardziej mi znany i logiczny. Ale tutaj jest na odwrót. Wydaje mi się, że zapis \(\displaystyle{ m^{\underline{x}}, m\in \ZZ}\) ma sens tylko dla \(\displaystyle{ x \in \ZZ}\) dobrze myślę? W innym przypadku coś takiego nie istnieje?