Wyliczenie sumy metodą "tam i z porotem"

[olga523]

Niech \(\displaystyle{ S_{k} = 1!(1+1^{2})+2!(1+2^{2})+\ldots+k!(1+k^{2})}\)
Udowodnij że
\(\displaystyle{ (1+\frac{1}{1})S_{1}+(1+\frac{1}{2})S_{2}+\ldots+(1+\frac{1}{n})S_{n}=(n+2)!-2}\)

[bartek118]

Wystarczy podstawić i wymnożyć.

[Qń]

Wystarczy podstawić i wymnożyć.

Chyba żartujesz?

Można pokazać indukcyjnie, że \(\displaystyle{ S_k=k\cdot (k+1)!}\), a następnie żądaną równość też udowodnić indukcyjnie.

Alternatywnie jeśli nie chcemy zgadywać, to zamiast indukcji w obu wypadkach można użyć sposobu - ale nie metody "tam i z powrotem", tylko zwijania teleskopowego. Wystarczy skorzystać dla pierwszej sumy z tego, że:
\(\displaystyle{ i!(1+i^2)= (i+2)!-3(i+1)!+2i!}\)
a dla drugiej z tego, że:
\(\displaystyle{ \left( 1+ \frac 1k\right) \cdot k(k+1)!=(k+2)! - (k+1)!}\)

Q.