Funkcja tworząca

[mietek124]

Witam!
Moim zadaniem jest utworzenie funkcji tworzącej i wyprowadzenie wzoru jawnego na podstawie podanego równania rekurencyjnego i wartości początkowych:
\(\displaystyle{ \begin{cases} r_{1}=1 \\ r_{2}=2 \\ r_{n+2}= 9r_{n+1} - 8r_{n} +1 \end{cases}}\)

Wychodzi mi funkcja tworząca, w której mam w liczniku i mianowniku wielomiany 3 stopnia. Dzielę je, zostaje mi -1 i reszta, z którą robię rozkład na ułamki proste. Problem polega na tym, że na końcu, gdy zostaje mi już tylko pozamieniać moje ułamki na szeregi potęgowe, nie mam pojęcia co zrobić z -1. Konkretnie wygląda to tak:

\(\displaystyle{ f(x)= -1 + \frac{ \frac{55}{49}}{1-x} - \frac{ \frac{1}{7}}{ (1-x)^{2}} + \frac{ \frac{1}{49}}{1-8x}}\)

Być może błędem jest samo to, że wychodzi mi dzielenie wielomianów tego samego stopnia? Nie potrafię jednak doszukać się w moich obliczeniach żadnego błędu. Co o tym sądzicie?

[Qń]

\(\displaystyle{ -1}\) to funkcja tworząca ciągu \(\displaystyle{ \left\langle -1,0,0,0, \ldots\right\rangle}\), więc gdyby ta minus jedynka faktycznie tam była, to ciąg który wyjdzie z pozostałej części funkcji tworzącej należałoby zmodyfikować jedynie tak, że od zerowego wyrazu odjęlibyśmy jedynkę.

Sęk jednak w tym, że tej minus jedynki tam nie ma, co oznacza że zrobiłeś jakiś błąd rachunkowy i to o tyle dziwny, że reszta funkcji tworzącej jest prawidłowo. Jeśli nie znajdziesz tego błędu sam, to pokaż rachunki, a ktoś zapewne Ci go wskaże.

Q.