równanie rekurencyjne

[Ale]

Czesc

Mam podane, ze dla \(\displaystyle{ n \ge m, v(n)=k+v(1)}\) a dla \(\displaystyle{ n < m, v(n)=\frac{1}{3}v(n+1)+\frac{2}{3}v(n-1)+1}\) . Ponadto \(\displaystyle{ v(0)=0}\). Ogolne rozwiazanie dla \(\displaystyle{ v(n)=\frac{1}{3}v(n+1)+\frac{2}{3}v(n-1)+1}\) to \(\displaystyle{ an+B+C2^{n}}\).

Odpowiedz ktora mam to: \(\displaystyle{ v(n)=3n-\frac{3m-(k+3)}{2^m-2}(2^n-1)}\).

Wiem jak rozwiac gdyby bylo podane tylko drugie rownanie rekurencyjne, ale w tym przypadku, gdy rowniania sa dwa dla roznych \(\displaystyle{ n}\), to zupelnie nie wiem od czego sie zabrać. Będę ogromnie wdzięczna za wytłumaczenie jak dojść do tego rozwiązania lub inne cenne wskazówki!

[Qń]

Albo coś jest nie tak z treścią, albo z odpowiedzią. Bo przy obecnej treści ciąg \(\displaystyle{ v(n)}\) jest stały począwszy od \(\displaystyle{ n=m}\), a to nie zgadza się z odpowiedzią.

Q.

[Ale]

No dobra, a dla \(\displaystyle{ n<m}\) ? Dodam, że \(\displaystyle{ m \ge 2}\) Ktoś może ma jakiś pomysł?