Różne zadania z kombinatoryki

[squared]

Witam!

Mam kilka różnych zadań z kombinatoryki. Proszę o uwagi krytyczne do moich rozwiązań. Do wielu zadań są różne metody rozwiązań. Proszę jednak o ocenienie, gdzie w moim myśleniu jest ewentualny błąd i nakierowaniu mnie. Z góry dziękuję za pomoc.

\(\displaystyle{ 1)}\) W zawodach gimnastycznych startuje \(\displaystyle{ 10}\) zawodników. Trzej sędziowie - jeden niezależnie od drugiego - powinni ponumerować zawodników w kolejności odzwierciedlającej ich powodzenie w zawodach. Zwycięzcą zostaje ten zawodnik, którego co najmniej dwóch sędziów wskaże za najlepszego. W jakiej części przypadków zwycięzca zostanie wyłoniony?

Zrobiłem tak. Każdy sędzia przyporządkowuje zawodnikom wszystkim numerki \(\displaystyle{ 1-10}\), przy czym \(\displaystyle{ 1}\) to oznacza najlepszy. Każdy sędzia, może te numerki przyporządkować na \(\displaystyle{ 10!}\) sposobów. Więc wszystkich możliwości łącznie przyporządkowania numerków jest: \(\displaystyle{ (10!)^3}\). Zwycięzcę wybiorą jeśli będzie jedna z 4 sytuacji: \(\displaystyle{ 1-1-0, 1-0-1, 0-1-1, 1-1-1}\). Czyli jak jakiś zawodnik otrzyma taką punktację (kolejno: 1 sędzia-2 sędzia-3 sędzia). Każdą z sytuacji można przyporządkować do każdego z zawodników + trzeba wliczyć, że dodatkowo, pozostałych 9 zawodników może otrzymać już dowolne punkty. Stąd wyszło mi:
\(\displaystyle{ \frac{4\cdot10\cdot (9!)^3}{(10!)^3} = 0,04}\)

Gdzie mam błąd?

\(\displaystyle{ 2)}\) Na ile sposobów można ustawić \(\displaystyle{ 20}\) książek w szafie o \(\displaystyle{ 5}\) półkach, jeśli na każdej można zmieścić wszystkie \(\displaystyle{ 20}\) książek?

Pomyślałem, by ponumerować półki \(\displaystyle{ 1-5}\). I po prostu każdej książce przyporządkowujemy jeden z tych numerków półki. Więc \(\displaystyle{ 5^{20}}\). Ale pewnie jest jakiś haczyk w tym zadaniu...

\(\displaystyle{ 3)}\) Maż ma \(\displaystyle{ 12}\) znajomych: \(\displaystyle{ 5}\) pań i \(\displaystyle{ 7}\) panów., natomiast znajomi żony to \(\displaystyle{ 7}\) pań i \(\displaystyle{ 5}\) panów. Ile jest sposbów zebrania towarzystwa skłającego się z \(\displaystyle{ 6}\) panów i \(\displaystyle{ 6}\) pań tak, aby mąż i żona zaprosili po \(\displaystyle{ 6}\) osób.

No i po prostu sobie rozpisałem to, że możliwości zaproszeń pań są takie (panie o męza - panie od żony:
\(\displaystyle{ 6-0,5-1,4-2,3-3,2-4,1-5}\)

Podobnie jest z panami. Wybór pań i panów są niezależne, stąd mamy:
\(\displaystyle{ {7 \choose 6} \underbrace{\left( {7 \choose 6} + {5 \choose 4} {7 \choose 2} + {5 \choose 3} {7 \choose 3} + {5 \choose 2} {7 \choose 4} + {5 \choose 1} + {7 \choose 6} \right)}_{k} + {5 \choose 4} {7 \choose 2} k+ {5 \choose 3} {7 \choose 3}k + {5 \choose 2} {7 \choose 4}k + {5 \choose 1}k + {7 \choose 6}k = k^2=924^2=853776}\)

\(\displaystyle{ 4)}\) Pogromca dzikich zwierząt chce wypuściś na arenę cyrkową \(\displaystyle{ 5}\) lwów i \(\displaystyle{ 4}\) tygrysy, nie może przy tym dopuścić do tego, by jeden trgry wchodził zaraz po drugim. Na ile sposobów pogromca może ustawić zwierzęta?

Musi być na pewno takie ustawienie: \(\displaystyle{ TLTLTLT}\). Pozostają więc tylko dwa lwy do ustawienia, albo dwa idą pierwsze, albo dwa ostatnie, albo jeden pierwszy, drugi ostatni, więc odpowiedź \(\displaystyle{ 3}\). Dobrze myślę?

\(\displaystyle{ 5)}\) Pięć dziewcząt i trzech chłopców gra w kręgle. Na ile sposobów mogą się oni podzielić na dwie drużyny po \(\displaystyle{ 4}\) osoby, jeśli w każdej drużynie powinien znajdować się co najmniej jeden chłopak.

Zrobiłem sprytnie. Wszystkich możliwości wyboru drużyn jest \(\displaystyle{ {8 \choose 4}}\), odejmę od nich te, w których powstanie drużyna \(\displaystyle{ 4}\) dziewczyn - w pozostałych przypadkach zawsze będzie na pewno 1 chłopak w każdej z drużyn. Mam więc:
\(\displaystyle{ {8 \choose 4} - {5 \choose 4} = 65}\)

Może tak być?

\(\displaystyle{ 6)}\) W pewnym mieście ulice przecinają się pod kątem prostym. Ulic północ-południe jest \(\displaystyle{ 4}\), a ulic wschód-zachód \(\displaystyle{ 7}\). Chcemy dostać się z południowego - zachodniego rogu na północno-wschodni, idąc ulicami. Iloma sposobami możemy to zrobić przy założeniu, że idziemy zawsze najkrótszą drogą.

Rozrysowałem to zadanie, jednak niewiele mi to dało. Widzę, które są te najkrótsze itd., ale nie potrafię ich zliczyć. Proszę o wskazówki.

Jeszcze raz z góry dziękuję za pomoc i przepraszam, że tyle "na raz".

[Mathix]

Zadanie 2.
Nie ma haczyka. Powinno być \(\displaystyle{ 5^{20}}\)

Zadanie 4.
Możliwe ułożenie to: \(\displaystyle{ LTLTLTLTL}\), \(\displaystyle{ LLTLTLTL}\), \(\displaystyle{ TLTLTLTLL}\). Ponieważ każdy lew i tygrys jest inny to lwy możemy przemieszczać na \(\displaystyle{ 5!}\) sposobów, zaś tygrysy na \(\displaystyle{ 4!}\) sposobów. Mamy trzy możliwości, więc kombinacji jest \(\displaystyle{ 3\cdot 4! \cdot 5!}\)

[Kartezjusz]

1) W tych wypadkach gdzie masz zera powinieneś dać \(\displaystyle{ 9}\) możliwości na każde zero, bo każdy ze zwycięzców, poza ustalonym może dostąpić zaszczytu uznania przez buntowniczego sędziego.

3)Co to jest \(\displaystyle{ k}\)?
5)Nikt Ci nie broni.
6)Co czym są najkrótsze drogi z geometrycznego punktu widzenia?

[squared]

Zadanie 4.
Możliwe ułożenie to: \(\displaystyle{ LTLTLTLTL}\), \(\displaystyle{ LLTLTLTL}\), \(\displaystyle{ TLTLTLTLL}\). Ponieważ każdy lew i tygrys jest inny to lwy możemy przemieszczać na \(\displaystyle{ 5!}\) sposobów, zaś tygrysy na \(\displaystyle{ 4!}\) sposobów. Mamy trzy możliwości, więc kombinacji jest \(\displaystyle{ 3\cdot 4! \cdot 5!}\)

Czyli jest tak jak myślałem, tylko uznałem, że każdy lew jest taki sam, i każdy tygrys też. Co wydało mi się logiczne, ale to nie ma znaczenia w sumie. Dziękuję.

1) W tych wypadkach gdzie masz zera powinieneś dać \(\displaystyle{ 9}\) możliwości na każde zero, bo każdy ze zwycięzców, poza ustalonym może dostąpić zaszczytu uznania przez buntowniczego sędziego.

Czyli:
\(\displaystyle{ \frac{3\cdot10\cdot 9 \cdot (9!)^3 + 10 \cdot (9!)^3}{(10!)^3} = \frac{270+10}{1000}= 0,28}\)?

3)Co to jest \(\displaystyle{ k}\)?

Zaznaczyłem w moim poście. Tam był lekki błąd, tutaj już prawidłowo podałem.

\(\displaystyle{ {7 \choose 6} \red \underbrace{\left( {7 \choose 6} + {5 \choose 4} {7 \choose 2} + {5 \choose 3} {7 \choose 3} + {5 \choose 2} {7 \choose 4} + {7 \choose 5}{5 \choose 1} + {7 \choose 1} {5 \choose 5} \right)}_{k} + \black {5 \choose 4} {7 \choose 2}k + {5 \choose 3} {7 \choose 3}k + {5 \choose 2} {7 \choose 4}k + {7 \choose 5}{5 \choose 1}k + {7 \choose 1} {5 \choose 5}k = k^2}\)

5)Nikt Ci nie broni.

Czyli dobrze rozwiązane? Też mi się wydawało, że dobrze, ale odpowiedź do zadania była inna jakaś.

6)Co czym są najkrótsze drogi z geometrycznego punktu widzenia?

W tym zadaniu chodzi by jak najmniej odcinków pokonać (te drogi utworzyły Nam prostokąty i malutkie odcinki) idąc do północno-wschodniego rogu. Generalnie albo idziemy wzdłuż długiego prostokąta (idziemy po obrzeżu miasta), ale również mieszenie, na skrzyżowaniu albo w górę, albo w prawo.

[Kartezjusz]

5) Podaj tę odpowiedź
6)Zauważ,że odcinki możesz przenieść na obrzeże,
3)Chodzi mi o samo oznaczenie

[squared]

\(\displaystyle{ 3)}\) k to są wszystkie możliwe wybory pań/panów. Nie ma znaczenia dla obu wychodzi to samo czyli. np. wybieramy panów:
- sześć panów od męża to \(\displaystyle{ {7 \choose 6}}\)
- pięciu panów od męża, jeden od żony \(\displaystyle{ {7 \choose 5} {7 \choose 1}}\) itd.
I wszystkie takie możliwości to \(\displaystyle{ k}\). Wybór pań i panów niezależny, stąd mam \(\displaystyle{ k^2}\)
\(\displaystyle{ 5)}\) Odpowiedź to niby \(\displaystyle{ 30}\).
\(\displaystyle{ 6)}\) Widzę to widzę, no i niby można sobie tam wybierać odcinki poziome i pionowe. Ale dla danego wyboru odcinka poziomego już mam ograniczony wybór drugiego odcinka...
Nie wiem, jak to powiązać.

[Kartezjusz]

Zauważ,że liczba odcinków poziomych i pionowych jest taka sama.

[squared]

Dziękuję za pomoc, już wszystko sobie w głowie i na kartce poukładałem.