\(\displaystyle{ n -m + f = 2 -2g.}\)
Potrzebuję dowód do tego twierdzenia, no ale niestety nie jest to takie proste...:/
Zatem: g-rodzaj (genus) grafu.
Udało się mi znaleźć dowód tego tw, ale w języku ang i tu kolejny problem:
Theorem 4 If G is a connected graph with genus g, then:\(\displaystyle{ f(G) = e(G) – n(G) + 2 –2g}\)
Proof. By induction on g.
· For \(\displaystyle{ g=0}\) the graph is planar and we have \(\displaystyle{ f(G) = e(G) – n(G) + 2 – 2g}\)
from Euler’s formula.
· We assume that the theorem is true for all graphs with genus (g-1)
These graphs may be drawn on a spherical surface with (g-1) handles and include
all those graphs obtained by deleting those edges passing over a single handle in
any graph of genus g.
· We construct G with genus g on a surface o genus g by adding a single edge to G’,
requiring an additional handle. Using prime letters for G’, we have by the induction
hypothesis:
\(\displaystyle{ F(G’) = e(G’) – n(G’) + 2 – 2g’}\)
But\(\displaystyle{ e(G)=e(G’)+1, g = g’+1, n-n(G’) +1}\) (nie rozumiem skąd takie n ? czy na pewno tutaj nic nie brakuje?)
Also \(\displaystyle{ f(G) = f(G’) – 1}\) because the handle connects two distinct faces in G’ making
A single face in G. Hence by substitution:
\(\displaystyle{ F(G) = e(G) – n(G) + 2 – 2 g.}\)
And so by induction the theorem is proved.
Byłabym bardzo wdzięczna za pomoc
Jeślibym miała w miarę przetłumaczony ten tekst, to może udałoby się mi zrozumieć coś wiecej z tego dowodu... może poprostu żle tłumaczę ten tekst...
nierozumiem tekstu od drugej kropki: załóżmy, że tw jets prawdziwe dla wszystkich grafów rodzaju g-1. Grafy te moga być sporządzone na sferze z g-1 uchwytamii obejmują wszystkie te grafy uzyskane przez usunięcie tych krawędzi przechodzących przez jeden uchwyt (nie wiem czy tu juz dobrze tłumaczę?) grafu rodzaju g. Dalej budujemy graf G przez dodanie jednej krawędzi do grafu G' (nie rozumiem co ozn graf G'), wymaga to dodatkowego uchwytu. i dalej to już zupełnie nie rozumiem....
