Ktora liczba jest większa.

[mateusz259]

Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu następującego zadania

Ktora z liczb jest większa ?

\(\displaystyle{ {n \choose k}}\) czy \(\displaystyle{ {n+2 \choose k+2}}\)

Z góry dziękuję.

[Mathix]

\(\displaystyle{ {n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{(k+1)\cdot (k+2) \cdot \ldots \cdot n}{(n-k)!}}\)
\(\displaystyle{ {n+2 \choose k+2}=\frac{(n+2)!}{(n-k)!(k+2)!}=\frac{(k+3)\cdot (k+4) \cdot \ldots \cdot(n+2)}{(n-k)!}}\)
No i teraz określ, która z liczb jest większa.

[mateusz259]

Dziękuję za odpowiedź


Chciałbym jeszcze dowiedzeć się przejść z takiej postaci \(\displaystyle{ \frac{n!}{k!(n-k)!}}\) do takiej \(\displaystyle{ \frac{(k+1)\cdot (k+2) \cdot \ldots \cdot n}{(n-k)!}}\) bo coś mi nie idzie ;/

[Mathix]

Trzeba rozpisać z definicji silnii(\(\displaystyle{ k \le n}\))
\(\displaystyle{ n!=1\cdot 2\cdot 3 \cdot \ldots \cdot (k-1)\cdot k\cdot (k+1) \cdot \ldots \cdot (n-1)\cdot n}\)
\(\displaystyle{ k!=1\cdot 2\cdot 3 \cdot \ldots \cdot (k-1)\cdot k}\)
Jak podzielisz \(\displaystyle{ n!}\) przez \(\displaystyle{ k!}\) to otrzymasz:
\(\displaystyle{ (k+1)\cdot (k+2)\cdot \ldots \cdot(n-1) \cdot n}\)

[mateusz259]

Już rozumiem

Dziękuję bardzo !