Wyznaczyć równianie ogólne rekurencji.

[2moonface]

tak więc treść zadania jak w temacie, a przykład to :
\(\displaystyle{ a_{n} = 3a_{n-1}-3a_{n-2}+ a_{n-3} +6n, n \ge 3}\)

[bartek118]

Zapisz wielomian charakterystyczny i wykorzystaj metodę przewidywań.

[2moonface]

nie za dużo mi to mówi . ;/

[bartek118]

No to po kolei - zapisz wielomian charakterystyczny.

[2moonface]

\(\displaystyle{ a^{3}=3a^{2}-3a^{1}+ a^{0} +6n}\)??
Czy o co tu chodzi ?
\(\displaystyle{ a^{3}-3a^{2}+3a^{1}- 1 -6n=0}\)

[Mariusz M]

Można jeszcze w ten sposób

\(\displaystyle{ a_{n} = 3a_{n-1}-3a_{n-2}+ a_{n-3} +6n, n \ge 3\\
\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{0}x^{n}}=A\left( x\right) \\
\sum_{n=3}^{\infty}{a_{n}x^n}=\sum_{n=3}^{ \infty }{3a_{n-1}x^{n}}+\sum_{n=3}^{ \infty }{-3a_{n-2}x^{n}}+\sum_{n=3}^{ \infty }{a_{n-3}x^{n}}+\sum_{n=3}^{\infty}{6nx^n}\\
\left( \sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^n}-a_{0}-a_{1}x-a_{2}x^2\right)=3x\left( \sum_{n=3}^{ \infty }{a_{n-1}x^{n-1}}\right)-3x^2\left( \sum_{n=3}^{ \infty }{a_{n-2}x^{n-2}} \right)+x^3\left( \sum_{n=3}^{ \infty }{a_{n-3}x^{n-3}} \right)+\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{6nx^n}-6x-6x^2 \right)\\
\left( \sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^n}-a_{0}-a_{1}x-a_{2}x^2\right)=3x\left( \sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}\right)-3x^2\left( \sum_{n=1}^{ \infty }{a_{n}x^{n}} \right)+x^3\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}} \right)+\left( \frac{6}{\left( 1-x\right)^2 } - \frac{6}{1-x} \right) -6x-6x^2 \right)\\
\left( \sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^n}-a_{0}-a_{1}x-a_{2}x^2\right)=3x\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}-a_{0}-a_{1}x\right)-3x^2\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}} -a_{0}\right)+x^3\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}} \right)+\left( \frac{6}{\left( 1-x\right)^2 } - \frac{6}{1-x} \right) -6x-6x^2 \right)\\
A\left( x\right)-a_{0}-a_{1}x-a_{2}x^2=3x\left( A\left( x\right)-a_{0}-a_{1}x \right)-3x^2\left( A\left( x\right)-a_{0} \right)+x^3A\left( x\right) + \frac{6}{\left( 1-x\right)^2 }- \frac{6}{1-x}-6x-6x^2 \\
A\left( x\right)\left( 1-3x+3x^2-x^3\right)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2-3a_{0}x-3a_{1}x^2+3a_{0}x^2+\frac{6x^2\left(1+x-x^2\right) }{\left( 1-x\right)^2 }\\
A\left( x\right)= \frac{\left( a_{2}-3a_{1}+3a_{0}\right)x^2+\left( a_{1}-3a_{0}\right)x+a_{0} }{\left( 1+x\right)^3 }+\frac{6x^2\left(1+x-x^2\right) }{\left( 1-x\right)^2\left( 1+x\right)^3 }\\
A\left( x\right)=\frac{p_{1}}{1+x}+\frac{p_{2}}{\left( 1+x\right)^2 }+\frac{p_{3}}{\left( 1+x\right)^3 }+\frac{q_{1}}{1-x}+\frac{q_{2}}{\left( 1-x\right)^2 }}\)

Pochodna szeregu geometrycznego to z jednej strony

\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}^k}{\mbox{d}x^k}\left(\frac{1}{1-qx}\right)=\frac{q^k\cdot k!}{\left(1-qx\right)^{k+1}}}\)

z drugiej zaś

\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}^k}{\mbox{d}x^k}\left(\sum_{n=0}^{\infty}{q^nx^n}\right)=q^{k}\sum_{n=0}^{\infty}{\prod_{i=1}^{k}{\left(n+i\right)}q^nx^k}}\)

Mamy zatem

\(\displaystyle{ \frac{k!}{\left(1-qx\right)^{k+1}}=\sum_{n=0}^{\infty}{\prod_{i=1}^{k}{\left(n+i\right)}q^nx^k}}\)

\(\displaystyle{ a^{3}=3a^{2}-3a^{1}+ a^{0} +6n}\)??
Czy o co tu chodzi ?
\(\displaystyle{ a^{3}-3a^{2}+3a^{1}- 1 -6n=0}\)

Tak z równaniem charakterystycznym to o to chodzi

Ja jednak proponuję użycie funkcji tworzących
Mają nieco szerszy zakres stosowania , nie trzeba się bawić w jednorodne i niejednorodne
nie potrzeba się zastanawiać nad krotnością pierwiastków

[2moonface]

czyli to jest rozwiązane zadanie ? To na bank sam do tego bym nie doszedł.. Dzięki wielkie !

[Mariusz M]

Jak chcesz z użyciem funkcji tworzących to pozostaje jeszcze policzyć współczynniki tego rozkładu
skorzystać z pochodnych szeregu geometrycznego bądź dwumianu Newtona i
dodać otrzymane szeregi

Przelicz jeszcze raz bo zdaje się że popełniłem błąd rachunkowy
Sposób który podałem jest dobry

Wyjdzie wielomian czwartego stopnia

\(\displaystyle{ a_{n}=\frac{1}{4}n^4+\frac{3}{2}n^3+\left( \frac{1}{2}a_{0}-a_{1}+\frac{1}{2}a_{2}-\frac{25}{4}\right)n^2+\left( 2a_{1}-\frac{1}{2}a_{2}+\frac{9}{2}-\frac{3}{2}a_{0}\right)n+a_{0}}\)