Witam, mam problem z jednym rodzajem zadań opierających się na analizie podzielności liczb.
Są to zadania typu:
1) "Oblicz, ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych, które są podzielne przez 6 lub 15"
albo
2) "Oblicz, ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych, które są podzielne przez 6, ale nie są podzielne przez 15".
Pierwszą część zadania, czyli wyznaczenie ilości liczb podzielnych przez 6 zrobić potrafię bez większego problemu. Gorzej z wyznaczeniem części wspólnej, którą należy odjąć.
Na przykładzie zadania 1).
Jest \(\displaystyle{ 9 * 10 * 10}\) liczb trzycyfrowych.
\(\displaystyle{ 900 : 6 = 150}\) podzielnych przez 6.
\(\displaystyle{ 900 : 15 = 60}\) podzielnych przez 15
I tu pojawia się problem. Aby wyznaczyć liczby powtarzające się należy pomnożyć 6 przez 15 i podzielić przez to 900?
Z góry dziękuję za pomoc i przepraszam, jeżeli ten problem już się pojawił.
Pozdrawiam.
Podzielność liczb - Problem z częścią wspólną zdarzeń.
-
squared
- Użytkownik
- Posty: 1017
- Rejestracja: 21 mar 2009, o 11:11
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 167 razy
- Pomógł: 152 razy
Podzielność liczb - Problem z częścią wspólną zdarzeń.
Wydaje mi się, że najszybciej jest rozwiązać to zadanie patrząc na te liczby jako ciągi arytmetyczne. Mam nadzieję, że błędu rachunkowego nie popełniłem.
Pierwszą liczbą podzielną przez \(\displaystyle{ 6}\) jest w tym przypadku \(\displaystyle{ 102}\). Potem: \(\displaystyle{ 108,114\ldots}\) A ostatnią? \(\displaystyle{ 900}\). Ile jest takich liczb? Można z ciągu arytmetycznego:
\(\displaystyle{ a_{n} = a_{1}+ (n-1)r \Leftrightarrow 900 = 102 + (n-1)6 \Leftrightarrow 798=6n - 6 \Leftrightarrow 804=6n \Leftrightarrow \red n= 134}\).
Analogicznie można znaleźć liczbę wyrazów podzielnych przez \(\displaystyle{ 15}\).
\(\displaystyle{ a_{1}=105 \\
a_n=900 \\
900 = 105 + (n-1)15 \\
795= 15n-15 \\
\red n=52}\)
Teraz ile jest liczb podzielnych przez \(\displaystyle{ 15}\) i niepodzielnych przez \(\displaystyle{ 6}\)? Zastanówmy się. Normalnie co \(\displaystyle{ 30}\) pojawiają się liczby podzielne przez \(\displaystyle{ 6}\) i \(\displaystyle{ 15}\) (\(\displaystyle{ NWW(15;6)=30}\)).
Rozważmy jak wyżej. Pierwszą taką liczbą jest \(\displaystyle{ 120}\), a ostatnią \(\displaystyle{ 900}\). Jak wyżej:
\(\displaystyle{ 900=120+ 30n - 30 \\
\red n=27}\)
Zatem liczb podzielnych przez \(\displaystyle{ 15}\) i niepodzielnych przez \(\displaystyle{ 6}\) jest: \(\displaystyle{ \blue 52-27=25}\)
Wyniki są trochę inne niż Twoje. Nie możesz robić tak jak ty \(\displaystyle{ 900 : 6 = 150}\) to nie jest dobry sposób, ponieważ ty obliczasz ile jest liczb podzielnych przez \(\displaystyle{ 6}\) mniejszych od \(\displaystyle{ 900}\), więc masz też np. dwucyfrowe. Poza tym, co byś zrobił, jakby \(\displaystyle{ 900}\) nie było podzielne przez \(\displaystyle{ 6}\)?
Pierwszą liczbą podzielną przez \(\displaystyle{ 6}\) jest w tym przypadku \(\displaystyle{ 102}\). Potem: \(\displaystyle{ 108,114\ldots}\) A ostatnią? \(\displaystyle{ 900}\). Ile jest takich liczb? Można z ciągu arytmetycznego:
\(\displaystyle{ a_{n} = a_{1}+ (n-1)r \Leftrightarrow 900 = 102 + (n-1)6 \Leftrightarrow 798=6n - 6 \Leftrightarrow 804=6n \Leftrightarrow \red n= 134}\).
Analogicznie można znaleźć liczbę wyrazów podzielnych przez \(\displaystyle{ 15}\).
\(\displaystyle{ a_{1}=105 \\
a_n=900 \\
900 = 105 + (n-1)15 \\
795= 15n-15 \\
\red n=52}\)
Teraz ile jest liczb podzielnych przez \(\displaystyle{ 15}\) i niepodzielnych przez \(\displaystyle{ 6}\)? Zastanówmy się. Normalnie co \(\displaystyle{ 30}\) pojawiają się liczby podzielne przez \(\displaystyle{ 6}\) i \(\displaystyle{ 15}\) (\(\displaystyle{ NWW(15;6)=30}\)).
Rozważmy jak wyżej. Pierwszą taką liczbą jest \(\displaystyle{ 120}\), a ostatnią \(\displaystyle{ 900}\). Jak wyżej:
\(\displaystyle{ 900=120+ 30n - 30 \\
\red n=27}\)
Zatem liczb podzielnych przez \(\displaystyle{ 15}\) i niepodzielnych przez \(\displaystyle{ 6}\) jest: \(\displaystyle{ \blue 52-27=25}\)
Wyniki są trochę inne niż Twoje. Nie możesz robić tak jak ty \(\displaystyle{ 900 : 6 = 150}\) to nie jest dobry sposób, ponieważ ty obliczasz ile jest liczb podzielnych przez \(\displaystyle{ 6}\) mniejszych od \(\displaystyle{ 900}\), więc masz też np. dwucyfrowe. Poza tym, co byś zrobił, jakby \(\displaystyle{ 900}\) nie było podzielne przez \(\displaystyle{ 6}\)?
Podzielność liczb - Problem z częścią wspólną zdarzeń.
Dziękuję za pomoc, jednak, czy ostatnią liczbą trzycyfrową podzielną przez 6 nie powinno być 996 zamiast 900? A w przypadku podzielności przez 15 liczba 990?
-
squared
- Użytkownik
- Posty: 1017
- Rejestracja: 21 mar 2009, o 11:11
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 167 razy
- Pomógł: 152 razy
Podzielność liczb - Problem z częścią wspólną zdarzeń.
Tak, tak, tak. masz rację. Tyle razy pisałeś o tym \(\displaystyle{ 900}\), że mi się to udzieliło, przepraszam. Oczywiście wszystko rozważania tak samo, tylko wstawiamy \(\displaystyle{ 996}\) i\(\displaystyle{ 990}\). Jeszcze raz bardzo przepraszam.
tj. podzielne przez \(\displaystyle{ 6}\)
\(\displaystyle{ a_{n} = a_{1}+ (n-1)r \Leftrightarrow 996 = 102 + (n-1)6 \Leftrightarrow 894=6n - 6 \Leftrightarrow 900=6n \Leftrightarrow \red n= 150}\)
Podzielność przez \(\displaystyle{ 15}\)
\(\displaystyle{ a_{1}=105 \\ a_n=990 \\ 990 = 105 + (n-1)15 \\ 885= 15n-15 \\ \red n=60}\)
Podzielność przez \(\displaystyle{ 15}\) + brak podzielności przez \(\displaystyle{ 6}\)
Rozważmy jak wyżej. Pierwszą taką liczbą jest \(\displaystyle{ 120}\), a ostatnią \(\displaystyle{ 990}\). Jak wyżej:
\(\displaystyle{ 990=120+ 30n - 30 \\
\red n=30}\)
Teraz jest dobrze chyba. No i wyszło, że Twoje wyniki były takie same. No, ale jakby zadanie było troszkę inne, że np. podzielność przez \(\displaystyle{ 7}\) oraz inne warunki, że mniejsza od czegoś tam, to już by to nie zadziałało. Ten sposób jest bardziej uniwersalny.
tj. podzielne przez \(\displaystyle{ 6}\)
\(\displaystyle{ a_{n} = a_{1}+ (n-1)r \Leftrightarrow 996 = 102 + (n-1)6 \Leftrightarrow 894=6n - 6 \Leftrightarrow 900=6n \Leftrightarrow \red n= 150}\)
Podzielność przez \(\displaystyle{ 15}\)
\(\displaystyle{ a_{1}=105 \\ a_n=990 \\ 990 = 105 + (n-1)15 \\ 885= 15n-15 \\ \red n=60}\)
Podzielność przez \(\displaystyle{ 15}\) + brak podzielności przez \(\displaystyle{ 6}\)
Rozważmy jak wyżej. Pierwszą taką liczbą jest \(\displaystyle{ 120}\), a ostatnią \(\displaystyle{ 990}\). Jak wyżej:
\(\displaystyle{ 990=120+ 30n - 30 \\
\red n=30}\)
Teraz jest dobrze chyba. No i wyszło, że Twoje wyniki były takie same. No, ale jakby zadanie było troszkę inne, że np. podzielność przez \(\displaystyle{ 7}\) oraz inne warunki, że mniejsza od czegoś tam, to już by to nie zadziałało. Ten sposób jest bardziej uniwersalny.