Równanie rekurencyjne

[Fray]

Witam.

Oto podmiot mojego problemu:
Rozwiązać równanie rekurencyjne
\(\displaystyle{ D_{n} = nD_{n-1} + (-1)^{n}}\) dla n > 0
z warunkiem początkowym \(\displaystyle{ D_{0} = 1}\).

Rozwiązanie na jakie wpadłem jest takie:
\(\displaystyle{ D_{n} = nD_{n-1} + (-1)^{n} = n^{2}D_{n-2} + (-1)^{n}(1 + n) = n^{n}D_{0} + (-1)^{n}( \sum_{k=0}^{n}n^{k} ) = n^{n} + (-1)^{n}( \sum_{k=0}^{n}n^{k} )}\)

Czy jest to własciwe rozwiązanie? Czy trzeba coś z nim jeszcze robić? Ponadto prosiłbym bardzo o rozwiązanie w ramach funkcji tworzacej, bo nie mam pojęcia jak to ruszyć.

\(\displaystyle{ f(x)= \sum_{n=0}^{+ \infty }(D_{n}x^{n}) = 1 + \sum_{n=1}^{+ \infty }((nD_{n-1} + (-1)^{n})x^{n}) =}\)
\(\displaystyle{ = 1 + \sum_{n=1}^{+ \infty }(nD_{n-1}*x^{n}) + \sum_{n=1}^{+ \infty }(-x)^{n}}\)
\(\displaystyle{ = 1 + x\sum_{n=0}^{+ \infty }((n+1)D_{n}*x^{n}) + \frac{x}{1+x}}\)

EDIT:

Wykorzystałem wykładniczą funkcję tworzącą i otrzymałem:
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{e^{-x}}{1-x}}\)
Co musze z nią dalej zrobić?

[brzoskwinka1]

Podzielmy obustronnie dane równanie przez \(\displaystyle{ n! ,}\) otrzymamy
\(\displaystyle{ \frac{D_n}{n!} =\frac{D_{n-1}}{(n-1)!} +\frac{(-1)^n }{n! }}\)
Podstawmy \(\displaystyle{ B_n =\frac{D_n}{n!} ,}\) \(\displaystyle{ B_0 =\frac{1}{0!} =1.}\)
Mamy:
\(\displaystyle{ B_n =B_{n-1} +\frac{(-1)^n }{n! } ,}\)
\(\displaystyle{ B_n -B_{n-1} =\frac{(-1)^n }{n! } ,}\)
Skąd
\(\displaystyle{ B_n =B_0 + \sum_{k=1}^{n} (B_k -B_{k-1} ) =1+\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^k }{k! }}\)
Więc
\(\displaystyle{ D_n =n!\cdot\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k }{k! }}\)

[Fray]

Bardzo mi się podoba to rozwiązanie. Problem w tym, że wpadłaś tu na pewnego rodzaju pomysł. Gdyby była szansa na dojście do rozwiązania metodą funkcji tworzących (raczej nie przewidywań) to byłbym bardzo wdzięczny. Jeżeli nie to dziękuję za czas poświęcony na rozwiązanie.

[Mariusz M]

Jak już otrzymałeś funkcje tworzącą to spróbuj policzyć
wartość tej funkcji oraz jej pochodnych w zerze

Możesz też spróbować spleść dwa szeregi o znanych funkcjach tworzących
i zobaczyć co otrzymasz

Policz iloczyn Cauchego szeregów

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }{ \frac{\left( -1\right)^n }{n!} x^{n}}}\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }{x^n}}\)
a powinieneś otrzymać co trzeba