Witam.
Oto podmiot mojego problemu:
Rozwiązać równanie rekurencyjne
\(\displaystyle{ D_{n} = nD_{n-1} + (-1)^{n}}\) dla n > 0
z warunkiem początkowym \(\displaystyle{ D_{0} = 1}\).
Rozwiązanie na jakie wpadłem jest takie:
\(\displaystyle{ D_{n} = nD_{n-1} + (-1)^{n} = n^{2}D_{n-2} + (-1)^{n}(1 + n) = n^{n}D_{0} + (-1)^{n}( \sum_{k=0}^{n}n^{k} ) = n^{n} + (-1)^{n}( \sum_{k=0}^{n}n^{k} )}\)
Czy jest to własciwe rozwiązanie? Czy trzeba coś z nim jeszcze robić? Ponadto prosiłbym bardzo o rozwiązanie w ramach funkcji tworzacej, bo nie mam pojęcia jak to ruszyć.
\(\displaystyle{ f(x)= \sum_{n=0}^{+ \infty }(D_{n}x^{n}) = 1 + \sum_{n=1}^{+ \infty }((nD_{n-1} + (-1)^{n})x^{n}) =}\)
\(\displaystyle{ = 1 + \sum_{n=1}^{+ \infty }(nD_{n-1}*x^{n}) + \sum_{n=1}^{+ \infty }(-x)^{n}}\)
\(\displaystyle{ = 1 + x\sum_{n=0}^{+ \infty }((n+1)D_{n}*x^{n}) + \frac{x}{1+x}}\)
EDIT:
Wykorzystałem wykładniczą funkcję tworzącą i otrzymałem:
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{e^{-x}}{1-x}}\)
Co musze z nią dalej zrobić?
Równanie rekurencyjne
Równanie rekurencyjne
Podzielmy obustronnie dane równanie przez \(\displaystyle{ n! ,}\) otrzymamy
\(\displaystyle{ \frac{D_n}{n!} =\frac{D_{n-1}}{(n-1)!} +\frac{(-1)^n }{n! }}\)
Podstawmy \(\displaystyle{ B_n =\frac{D_n}{n!} ,}\) \(\displaystyle{ B_0 =\frac{1}{0!} =1.}\)
Mamy:
\(\displaystyle{ B_n =B_{n-1} +\frac{(-1)^n }{n! } ,}\)
\(\displaystyle{ B_n -B_{n-1} =\frac{(-1)^n }{n! } ,}\)
Skąd
\(\displaystyle{ B_n =B_0 + \sum_{k=1}^{n} (B_k -B_{k-1} ) =1+\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^k }{k! }}\)
Więc
\(\displaystyle{ D_n =n!\cdot\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k }{k! }}\)
\(\displaystyle{ \frac{D_n}{n!} =\frac{D_{n-1}}{(n-1)!} +\frac{(-1)^n }{n! }}\)
Podstawmy \(\displaystyle{ B_n =\frac{D_n}{n!} ,}\) \(\displaystyle{ B_0 =\frac{1}{0!} =1.}\)
Mamy:
\(\displaystyle{ B_n =B_{n-1} +\frac{(-1)^n }{n! } ,}\)
\(\displaystyle{ B_n -B_{n-1} =\frac{(-1)^n }{n! } ,}\)
Skąd
\(\displaystyle{ B_n =B_0 + \sum_{k=1}^{n} (B_k -B_{k-1} ) =1+\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^k }{k! }}\)
Więc
\(\displaystyle{ D_n =n!\cdot\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k }{k! }}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 52
- Rejestracja: 18 sty 2014, o 18:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 8 razy
Równanie rekurencyjne
Bardzo mi się podoba to rozwiązanie. Problem w tym, że wpadłaś tu na pewnego rodzaju pomysł. Gdyby była szansa na dojście do rozwiązania metodą funkcji tworzących (raczej nie przewidywań) to byłbym bardzo wdzięczny. Jeżeli nie to dziękuję za czas poświęcony na rozwiązanie.
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Równanie rekurencyjne
Jak już otrzymałeś funkcje tworzącą to spróbuj policzyć
wartość tej funkcji oraz jej pochodnych w zerze
Możesz też spróbować spleść dwa szeregi o znanych funkcjach tworzących
i zobaczyć co otrzymasz
Policz iloczyn Cauchego szeregów
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }{ \frac{\left( -1\right)^n }{n!} x^{n}}}\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }{x^n}}\)
a powinieneś otrzymać co trzeba
wartość tej funkcji oraz jej pochodnych w zerze
Możesz też spróbować spleść dwa szeregi o znanych funkcjach tworzących
i zobaczyć co otrzymasz
Policz iloczyn Cauchego szeregów
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }{ \frac{\left( -1\right)^n }{n!} x^{n}}}\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }{x^n}}\)
a powinieneś otrzymać co trzeba