ile liczb

[waliant]

Ile liczb pięciocyfrowych można ułożyć z cyfr: \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,3,3,4,4,4,4\right\}}\).

Wiem, że można to zrobić rozpatrując przypadki, ale czy jest inny sposób?

[Poszukujaca]

Jeśli wszystkie cyfry z tego zbioru byłyby inne, to ilość takich liczb wyrażałaby wariacja bez powtórzeń:
\(\displaystyle{ v_{8}^{5}=\frac{8!}{3!}}\).

[waliant]

Jeśli wszystkie cyfry z tego zbioru byłyby inne

Ale tak nie jest..

[fawq]

Rozpatrzmy przypadki:
1. Nasza liczba pięciocyfrowa składa się z cyfr \(\displaystyle{ {1,2,3,3,4}}\). Jedynkę wybierzemy na \(\displaystyle{ 5}\) sposobów, dwójkę na \(\displaystyle{ 4}\) sposoby (bo 1 już zajęła jedno miejsce), a czwórkę na \(\displaystyle{ 3}\) sposoby (bo 1 i 2 zajęły już dwa miejsca), trójek nie musimy już rozpatrywać bo i tak pozostały dwa wolne miejsca wypełnią (a nie zmienią kombinacji). Zatem możliwa ilość ułożeń to \(\displaystyle{ 5*4*3=60.}\) Analogiczna sytuacja jest w przypadku \(\displaystyle{ {1,2,3,4,4}}\) (Możliwa liczba ułożeń to także \(\displaystyle{ 60}\)).
2. Niech nasza liczba składa się z cyfr \(\displaystyle{ {1,2,4,4,4}}\). Tutaj obliczając jak w 1. punkcie dojdziemy do wniosku , że liczba ułożeń to \(\displaystyle{ 5*4=20}\). Podobna sytuacja jest w przypadku zestawu cyfr \(\displaystyle{ {1,3,4,4,4}}\) oraz \(\displaystyle{ {2,3,4,4,4}}\).
3. Zajmijmy się teraz \(\displaystyle{ {3,3,4,4,4}}\). Tutaj wystarczy sprawdzić liczbę kombinacji trójki, a wyniesie ona \(\displaystyle{ {5 \choose 2}=10}\) (na 5 miejscach rozmieszczamy 2 te same liczby na \(\displaystyle{ {5 \choose 2}=10}\) sposobów).
4. No i na koniec \(\displaystyle{ {1,4,4,4,4}}\) gdzie możliwości kombinacji jest 5, tak samo jak w \(\displaystyle{ {2,4,4,4,4}}\) oraz \(\displaystyle{ {3,4,4,4,4}}\).

Sumując to otrzymamy \(\displaystyle{ 60*2+20*3+10+5*3=205}\) możliwości ułożenia pięciocyfrowych liczb. Sposób którym rozwiązywałem wydaje się dobry lecz wolałbym, żeby dokładniej to przeanalizować (w celu wyszukania jakiś błędów lub nieścisłości )

[fon_nojman]

fawq twoje rozwiązanie wygląda dobrze. Znalazłem tylko literówkę:

3. Zajmijmy się teraz \(\displaystyle{ {2,2,4,4,4}}\). Tutaj wystarczy sprawdzić liczbę kombinacji dwójki, a wyniesie ona \(\displaystyle{ {5 \choose 2}=10}\) (na 5 miejscach rozmieszczamy 2 te same liczby na \(\displaystyle{ {5 \choose 2}=10}\) sposobów).

Nie mamy dwóch dwójek, powinien być przypadek \(\displaystyle{ 3,3,4,4,4.}\)

[fawq]

No tak, rzeczywiście. Próbuje jednak znaleźć jeszcze prostszy sposób nie używając przypadków jednak wydaje mi się to niemożliwe.