Równanie z symbolem Newtona

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Kcurek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 9 wrz 2013, o 20:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 7 razy

Równanie z symbolem Newtona

Post autor: Kcurek »

Witam.
Proszę o pomoc w rozwiązaniu równania:
\(\displaystyle{ {10\choose k}=252}\)
Próbowałem to rozpisywać na silnie, iloczyny, ale nie doszedłem do żadnego konkretnego wniosku, który pozwoliłby mi znaleźć liczbę k.
Pozdrawiam.
Awatar użytkownika
Kacperdev
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3260
Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 686 razy

Równanie z symbolem Newtona

Post autor: Kacperdev »

\(\displaystyle{ k \in \left\langle 0,10\right\rangle \wedge k \in \ZZ}\)

Warto też zauważyć, że symbol newtona jest symetryczny.
Szybko w pamięci można sprawdzić, że to nieprawda dla \(\displaystyle{ k \in \left\{ 0,1,2\right\}}\)

Wystarczy przeliczyć dla \(\displaystyle{ k \in \left\{ 3,4,5\right\}}\)
Kcurek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 9 wrz 2013, o 20:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 7 razy

Równanie z symbolem Newtona

Post autor: Kcurek »

Wiesz, jasne, że mogłem to przeliczyć "na pałę" i nawet to zrobiłem, tak więc wiem, że k=5 Jednak napisałem tutaj w celu wyliczenia tego równania na literach, np. żeby dojść np. do \(\displaystyle{ 5!=120}\) albo czegoś podobnego, a wszystko po to, żeby nie skompromitować się z czymś takim na maturze.
Awatar użytkownika
Kacperdev
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3260
Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 686 razy

Równanie z symbolem Newtona

Post autor: Kacperdev »

Kcurek pisze:Wiesz, jasne, że mogłem to przeliczyć "na pałę" i nawet to zrobiłem, tak więc wiem, że k=5 Jednak napisałem tutaj w celu wyliczenia tego równania na literach, np. żeby dojść np. do \(\displaystyle{ 5!=120}\) albo czegoś podobnego, a wszystko po to, żeby nie skompromitować się z czymś takim na maturze.
Jednak sam widzisz, że sytuacja mocno się komplikuje niezależnie od wybranej drogi. Nie skompromitujesz się.
Kcurek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 9 wrz 2013, o 20:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 7 razy

Równanie z symbolem Newtona

Post autor: Kcurek »

Nie no, jeśli takie liczenie na piechotę przyjęliby na rozszerzeniu, to generalnie dobrze wiedzieć Zatem dziękuję za pomoc
Awatar użytkownika
Kacperdev
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3260
Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 686 razy

Równanie z symbolem Newtona

Post autor: Kacperdev »

To nie jest tak do końca liczenie na piechotę, bo poprzedzamy je pewnymi obserwacjami i zawężamy krąg podejrzanych liczb.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Równanie z symbolem Newtona

Post autor: yorgin »

Bez "pałowania" można to zrobić mniej więcej tak:

Mamy

\(\displaystyle{ {10 \choose k}=252}\),

czyli

\(\displaystyle{ \frac{10!}{(10-k)!k!}=252}\)

a stąd

\(\displaystyle{ (10-k)!k!=14400=2^6\cdot 3^2\cdot 5^2=(5!)^2}\)

skąd widać, że

\(\displaystyle{ k=5}\).

Choć nie zaprzeczam, rozwiązanie, które podaje Kacperdev, też jest dobre. Sprawdzenie skończonej liczby przypadków i wyciągnięcie wniosków to dobra metoda.
ODPOWIEDZ