Zasada włączeń i wyłączeń

[Fray]

Witam. Treść mojego zadania brzmi:
"Zbadać w ilu permutacjach liter ze słowa MATHEMATICS obie litery T stoją przed obiema literami A lub obie litery A przed obiema literami M lub obie litery M przed literą E."

Prosiłbym o sprawdzenie i jeżeli ktoś byłby w stanie jakiegoś bardziej formalnego zapisu (/rozwiązania).

A - zbiór permutacji, w których obie litery T stoją przed obiema literami A
B - zbiór permutacji, w których obie litery A stoją przed obiema literami M
C - zbiór permutacji, w których obie litery M stoją przed literą E

Powtarzające się litery:
2 x M , 2 x A , 2 x T

Wybieram z 11 dostępnych miejsc 4 i ustawiam dwie litery T przed literami A. Resztę permutuję i dzielę przez 2! ponieważ powtarzaj się litera M (dla B powtarza się T).
\(\displaystyle{ \left| A\right| = {11 \choose 4} \frac{7!}{2!}}\)
\(\displaystyle{ \left| B\right| = {11 \choose 4} \frac{7!}{2!}}\)
\(\displaystyle{ \left| C\right| = {11 \choose 3} \frac{8!}{2!2!}}\)

Teraz wybieram 6 miejsc na litery T,T,A,A,M,M i ustawiam je w takiej kolejności
\(\displaystyle{ \left| A \cap B\right|= {11 \choose 6} 5!}\)
\(\displaystyle{ \left| B \cap C\right|= {11 \choose 5} \frac{6!}{2!}}\)

Ponieważ A i C mają trochę "niezależne" od siebie warunki sytuacja wygląda minimalnie inaczej. Najpierw wyszukuje miejsca dla warunku A potem dla C, a resztę permutuję.
\(\displaystyle{ \left| A \cap C\right|= {11 \choose 4}{7 \choose 3} 4!}\)

\(\displaystyle{ \left| A \cap B \cap C \right|= {11 \choose 7} 4!}\)

No i teraz z zasady włączeń i wyłączeń:

\(\displaystyle{ \left| A \cup B \cup C\right|= \left| A\right| + \left| B\right| + \left| C\right| - \left| A \cap B\right| - \left| A \cap C\right| - \left| B \cap C\right| + \left| A \cap B \cap C \right|}\)

[kerajs]

Nie czuję się specjalistą, więc traktuj to jak lużne uwagi:

Dla zdarzenia A dwumian \(\displaystyle{ {11\choose 4}}\) jest zarezerwowaniem 4 miejsc dla liter TTAA, ale nie ich ułożeniem.
Masz tu też : TAAT, ATAT.....
Musisz to podzielić przez 6 ( \(\displaystyle{ \frac{4!}{2!2!}}\) )
Analogicznie musisz zmodyfikować pozostałe moce zdarzeń

A zpis mi odpowiada, choć miektórzy wolą moc oznaczć kreskami nad zdarzeniem.

[Fray]

Ok, dzięki za odpowiedź, ale czy na pewno masz rację?
Wybieram 4 pola z 11 dla TTAA, ale mnie nie interesują układy TTAA, bo w ogóle się nimi nie zajmuje. Wybieram te 4 pola i na "sztywno" ustawiam tam po kolei TTAA, czyli jedną kombinację (powodem są założenia zadania, czyli obie A za oboma T)

[kerajs]

Zrobiłem parę łatwiejszych przykładów i ... potwierdzają Twoje rozwiązanie. Sorry

[Fray]

Czy może ktoś jeszcze mógłby się wypowiedzieć? Zależałoby mi zwłaszcza na bardziej formalnym zapisie.

[lidka95]

Dlaczego, kiedy obliczamy \(\displaystyle{ \left| C\right|}\), dwa razy dzielimy przez \(\displaystyle{ 2!}\)?