kombinacje z powtórzeniami - wybór osób przy stole

[anilahcim]

Przy okrągłym stole zasiada 12 osób. Na ile sposobów można wybrać spośród nich 5 osób tak, żeby nie została wybrana żadna para osób siedzących obok siebie?

Czyli jakby rozciąć ten stół, to to samo co ciąg binarny o długości 12, w którym jest 5 jedynek, żadne nie stoją obok siebie.
Na zajęciach zrobiliśmy tak: \(\displaystyle{ {12-5+1 \choose 5}- {8-3+1 \choose 3}}\). Pierwszy nawias to liczba wyborów z 12-elementowego ciągu, w drugim odejmujemy te możliwości, w których 12ta osoba siedzi obok 11tej.

Ja myślałam, żeby zrobić to tak, że najpierw ustawiam na zmianę 5 zer i jedynek \(\displaystyle{ 1010101010}\) (kończy się zerem, żeby pierwszy i ostatni element nie był jedynką, bo to w kółko ma iść) zostają dwa zera do wstawienia w sześć miejsc, czyli \(\displaystyle{ {5+2-1 \choose 2}}\), ale to daje inny wynik niż w pierwszym rozwiązaniu.

Nie wiem, gdzie jest błąd w mojej odpowiedzi, więc będę wdzięczna za pomoc.

[vpprof]

Nie wiem skąd się bierze \(\displaystyle{ {12-5+1 \choose 5}- {8-3+1 \choose 3}}\). Pierwszy człon wynosi \(\displaystyle{ {8 \choose 3}}\) a mi ta liczba się kojarzy z czymś takim:
\(\displaystyle{ 1*0*1*0*1*0*1*0*1}\)
i teraz w miejsce gwiazdek wstawiamy zera — kropek mamy 8, a zer 3. Tylko, jak sama zauważyłaś w swoim rozwiązaniu, nie ważne czy zera wstawimy za zero czy przed zero, i tak wyjdzie ciąg zer. Więc coś tu nie pasuje.

Poza tym:

Na zajęciach zrobiliśmy tak: \(\displaystyle{ {12-5+1 \choose 5}- {8-3+1 \choose 3}}\). Pierwszy nawias to liczba wyborów z 12-elementowego ciągu, w drugim odejmujemy te możliwości, w których 12ta osoba siedzi obok 11tej.

Nie dwunasta siedzi koło jedenastej bo to wiadomo że tak siedzą przy okrągłym stole tylko obie są wybrane, a więc ciąg zaczyna się i kończy jedynką, a więc mamy już ustalone dwa miejsca, następnie w środku mamy ciąg 10-cyfrowy, który musi zaczynać się i kończyć zerem. Czyli 8 miejsc do zagospodarowania, na nich trzy jedynki i pięć zer. Czyli w takie coś: \(\displaystyle{ *1*01*01*}\) trzeba wstawić trzy zera, czyli \(\displaystyle{ {3+4-1 \choose 3}}\). Czyli OK. Sorry, myślałem, że to źle jest.

zostają dwa zera do wstawienia w sześć miejsc, czyli \(\displaystyle{ {5+2-1 \choose 2}}\)

Nie w sześć tylko w pięć, ale to chyba literówka?… Bo można wstawić po pierwszej jedynce, po drugiej jedynce, …, po piątej jedynce i szlus.

[anilahcim]

Nie w sześć tylko w pięć, ale to chyba literówka?… Bo można wstawić po pierwszej jedynce, po drugiej jedynce, …, po piątej jedynce i szlus.

Tak, w pięć, to literówka.
I coś w tym rozwiązaniu musi być nie tak, bo jakby sobie to wyliczyć, to wychodzi inny wynik niż w pierwszym sposobie, a w żadnym nie mogę doszukać się błędu.

[vpprof]

Być może zamienione są znaki, powinno być \(\displaystyle{ {12 \red + \black 5 \red - \black 1 \choose 5}}\) i w drugim tak samo. Choć z tego co pamiętam to też daje inny wynik, więc może po prostu powiedz skąd bierzesz to pierwsze rozwiązanie.