Ile jest takich permutacji, że...

[arek1357]

Czemu sugerujesz że ten wynik jest nieprawidłowy?
Można dołożyć jeszcze takie przypadki jak:

\(\displaystyle{ \{a,b\} \{c,d\}\{e\}\{f\}}\)

\(\displaystyle{ \{a,b\} \{c\} {\d\}\{e\}\{f\}}\)

Gdy jest jeden lub dwa cykle długości dwa reszta to punkty stałe

Ale przy pełnym podziale na cykle czyli na trzy cykle wynik jest dobry!


Moja koncepcja cały czas zmierza ku temu żeby dzielić na cykle długości \(\displaystyle{ k}\)


Może to bardziej sformalizuję:

mamy zbiór :

\(\displaystyle{ \{1,2,...,n\}}\)

\(\displaystyle{ n=kl+r}\)

\(\displaystyle{ r<k}\)

Może w nim być \(\displaystyle{ l}\) - cykli o długości - \(\displaystyle{ k}\) i cykl o długości \(\displaystyle{ r}\)

ilość takich możliwości jest:

\(\displaystyle{ \frac{n!}{k^l \cdot r \cdot l!}}\)


A ogólny wzór w , którym brakuje cykli o długości \(\displaystyle{ k}\)

powinien wyglądać:

(*) \(\displaystyle{ \sum_{s_{k}=0}^{} \frac{n!}{1^{s_{1}} \cdot 2^{s_{2}} \cdot ,..., \cdot n^{s_{n}} \cdot s_{1}! \cdot ... \cdot s_{n}!}}\)

(Poprawiłem wzór sorki za błędy)

Tak czy siak rządzi tu reguła wł. i wył.

I jak to się ma do prawidłowego wyniku?


Przykład:

\(\displaystyle{ k=3,n=6}\)

ilość permutacji w których występuje cykl o długości \(\displaystyle{ 3}\)

Może występować raz:

\(\displaystyle{ \frac{6!}{3 \cdot 2}+ \frac{6!}{3 \cdot 3!}}\)=wynik

Może występować dwa razy:

\(\displaystyle{ \frac{6!}{3^2 \cdot 2!}}\)=wynik

W razie kłopotów z wynikami proszę pisać na pw...

Teraz wszystko się zgadza !, wzór (*) jest chyba ok

[norwimaj]

Czemu sugerujesz że ten wynik jest nieprawidłowy?

Permutacje bez cykli długości \(\displaystyle{ 2}\):

1. identyczność — \(\displaystyle{ 1}\),
2. permutacje typu \(\displaystyle{ (abc)}\) — \(\displaystyle{ \binom63\cdot2=40}\),
3. permutacje typu \(\displaystyle{ (abc)(d ef)}\) — \(\displaystyle{ 5\cdot4\cdot2=40}\),
4. permutacje typu \(\displaystyle{ (abcd)}\) — \(\displaystyle{ \binom62\cdot3!=90}\),
5. permutacje typu \(\displaystyle{ (abcde)}\) — \(\displaystyle{ 6\cdot4!= 144}\),
6. permutacje typu \(\displaystyle{ (abcd ef)}\) — \(\displaystyle{ 5!=120}\).

Łącznie \(\displaystyle{ 435}\) permutacji.

Permutacje z cyklem długości \(\displaystyle{ 2}\):

• permutacje typu \(\displaystyle{ (ab)}\) — \(\displaystyle{ \binom62=15}\),
• permutacje typu \(\displaystyle{ (ab)(cd)}\) — \(\displaystyle{ \binom62\cdot3=45}\),
• permutacje typu \(\displaystyle{ (ab)(cd)(ef)}\) — \(\displaystyle{ 5\cdot3=15}\),
• permutacje typu \(\displaystyle{ (ab)(cde)}\) — \(\displaystyle{ \binom62\cdot4\cdot2= 120}\),
• permutacje typu \(\displaystyle{ (ab)(cde f)}\) — \(\displaystyle{ \binom62\cdot3!=90}\).

Łącznie \(\displaystyle{ 285}\) permutacji.

Wszystkich permutacji naliczyłem \(\displaystyle{ 435+285=720=6!}\), czyli żadnej nie zgubiłem.

Gdzie robię błąd?