wzór rekurencyjny -> jawny

[juuulek]

czy jeżeli mam taki wzór rekurencyjny
\(\displaystyle{ x_{0} = \alpha}\)
\(\displaystyle{ x_{1} = \beta}\)
\(\displaystyle{ x_{k+1} = \frac{22}{5}x_{k} + 3x_{k-1}}\)
to czy jest jakiś sposób na przejście z wzoru rekurencyjnego na jawny (nierekurencyjny)? oczywiście z uwzględnieniem obu stałych/parametrów/jak-zwał-tak-zwał... (mam na myśli \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\))
funkcją tworzącą? czymkolwiek?

potrzebna rada (a najlepiej sposób rozwiązania, bo już od prawie dwóch dni się męczę z f. tworzącymi) pilnie, więc z góry dzięki za odpowiedź nie tylko szybką, ale i prostą jak to dla miejskiego głupka przystało

z góry przepraszam, jeśli to zły dział, ale mi jakoś tak najbardziej to do dyskretnej pasuje!

[a4karo]

1) jeżeli ciągi \(\displaystyle{ z_n}\) i \(\displaystyle{ y_n}\) spełniaja równanie rekurencyjne, to \(\displaystyle{ ax_n+by_n}\) też.
Poszukaj rozwiązań postaci \(\displaystyle{ x_n=\lambda^n}\)

[vpprof]

\(\displaystyle{ G_x(z)=\sum_{k \ge 0} x_k z^k=
x_0+x_1z+ \sum_{k \ge 1} x_{k+1}z^{k+1}=
\alpha+\beta z+z \sum_{k \ge 1} \left( \frac{22}{5}x_{k} + 3x_{k-1}\right) z^k =
\alpha+\beta z+\frac{22}{5}z \sum_{k \ge 1} x_k z^k+3z^2\sum_{k \ge 0} x_k z^k=
\alpha+\beta z+\frac{22}{5}z \left( \sum_{k \ge 0} x_kz^k - x_0\right) +3z^2G_x=
\alpha+\beta z+\frac{22}{5}z G_x-\frac{22}{5}z \alpha+3z^2G_x=
\alpha+z\left( \beta-\frac{22}{5}\alpha\right) +G_x\left( \frac{22}{5}z +3z^2\right)}\)


\(\displaystyle{ G_x\left( 1- \frac{22}{5}z -3z^2\right)=\alpha+z\left( \beta-\frac{22}{5}\alpha\right)}\)

\(\displaystyle{ G_x= \frac{\alpha+z\left( \beta-\frac{22}{5}\alpha\right)}{1- \frac{22}{5}z -3z^2}}\)

Niech dla przejrzystości:
\(\displaystyle{ \gamma = \frac{3\alpha+5\beta}{28} \\
\delta = \frac{5\left( 5\alpha-\beta\right) }{28}}\)

Wtedy:
\(\displaystyle{ G_x= \frac{\gamma}{1-5z} + \frac{\delta}{1+ \frac{3}{5}z }}\)

A wzór jawny będzie:
\(\displaystyle{ x_k=\gamma 5^k+\delta\left( \frac{3}{5} \right)^k}\)