Sumowanie po raz kolejny

[matinf]

Witam,

Mamy obliczyć taką sumę:
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n}\binom{n-j}{i-j}(-1)^i}\)

Trochę nie wiadomo jak się do tego zabrać, wszak pochłanianiem nie da się rady (wykładnik zależny od zmiennej sterującej)

[Qń]

Zauważ, że:
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n}\binom{n-j}{i-j}(-1)^i=\sum_{i=j}^{n}\binom{n-j}{i-j}(-1)^i= \\ =(-1)^j\sum_{i=j}^{n}\binom{n-j}{i-j}(-1)^{i-j}=(-1)^j\sum_{k=0}^{n-j}\binom{n-j}{k}(-1)^{k}}\)

Q.

[matinf]

Ok, sprawdź czy rozumiem:

Kluczowe były tutaj głównie zmiany indexowania tej sumy. Trzeba było zauważyć że jakieś elementy to zera, można inaczej zaindeksować.

I jeszcze jedno - w sumie którą otrzymałeś nadal występuje symbol sumy.
Nie jest łatwo sie go chyba pozbyć.
Mamy tożsamość:
\(\displaystyle{ \sum_{k\le m}\binom{r}{k}(-1)^k = (-1)^m\binom{r-1}{m}}\)
Podstawiając do tej tożsamości otrzymamy, że:
\(\displaystyle{ (-1)^j(-1)^{n-j}\binom{n-j-1}{n-j}}\)
No, ale to chyba zły wynik jest. Bo to się całe zzeruje.

[Qń]

Nie trzeba takich armat, wystarczy wiedzieć jak rozwija się \(\displaystyle{ (a+b)^m}\).

Istotnie, wynik to \(\displaystyle{ 0}\), poza przypadkiem \(\displaystyle{ n=j}\).

Q.