Zapis w sumie - co oznacza ?

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
matinf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1922
Rejestracja: 26 mar 2012, o 18:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 695 razy
Pomógł: 4 razy

Zapis w sumie - co oznacza ?

Post autor: matinf »

Witam,
\(\displaystyle{ \sum_{1\le\i \le j\le n}2^i}\)

Co to oznacza ?
skad ten indeks \(\displaystyle{ j}\)? Przecież on nie pełni tutaj żadnej roli.
chris_f
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2727
Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 945 razy

Zapis w sumie - co oznacza ?

Post autor: chris_f »

W tym zapisie rzeczywiście \(\displaystyle{ j}\) nie ma znaczenia.

Ale gdyby np. wziąć sumę
\(\displaystyle{ \sum\limits_{1\le i\le j\le3}j\cdot 2^i}\)
to dostalibyśmy
\(\displaystyle{ \sum\limits_{1\le i\le j\le3}j\cdot 2^i=
1\cdot2^1+2\cdot2^1+2\cdot2^2+3\cdot2^1+3\cdot2^2+3\cdot2^3+
4\cdot2^1+4\cdot2^2+4\cdot2^3+4\cdot2^4}\)
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Zapis w sumie - co oznacza ?

Post autor: »

\(\displaystyle{ j}\) oczywiście ma znaczenie.

Można to wyobrazić sobie w ten sposób, że mamy macierz \(\displaystyle{ n\times n}\) taką, że \(\displaystyle{ a_{ij}= 2^i}\) i sumujemy jej wyrazy znajdujące się w "górnym trójkącie".

Można tę sumę liczyć sumując najpierw po wierszach:
\(\displaystyle{ \sum_{1\le\i \le j\le n}2^i= \sum_{1\le i \le n} \sum_{i\le j\le n}2^i =\sum_{1\le i \le n}(n-i+1)2^i= \\ =(n+1)\sum_{1\le i \le n}2^i- \sum_{1\le i \le n}i2^i = 2(n+1)(2^n-1)- \sum_{1\le i \le n}i2^i}\)
albo najpierw po kolumnach:
\(\displaystyle{ \sum_{1\le\i \le j\le n}2^i= \sum_{1\le j \le n} \sum_{1\le i\le j}2^i = \sum_{1\le j \le n} 2\left( 2^{j}-1}\right) =\\ = 2 \cdot \left( 2 (2^n-1) - n\right) =2^{n+2}-2n-4}\)

Łatwo z tych rachunków wyprowadzić wzór na \(\displaystyle{ \sum_{1\le i \le n}i2^i}\).

Q.
matinf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1922
Rejestracja: 26 mar 2012, o 18:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 695 razy
Pomógł: 4 razy

Zapis w sumie - co oznacza ?

Post autor: matinf »

Jest tu pewna dziwna sprawa, a mianowicie:
\(\displaystyle{ \sum_{1\le\i \le j\le n}2^i= \sum_{1\le i \le n} \sum_{i\le j\le n}2^i =\sum_{1\le i \le n}(n-i+1)2^i= \\ =(n+1)\sum_{1\le i \le n}2^i- \sum_{1\le i \le n}i2^i = 2(n+1)(2^n-1)- \sum_{1\le i \le n}i2^i}\)

Ja się zgadzam z tymi obliczeniami - tzn nie widać błędu.

Ale również można łatwo do wyniku:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}i2^i}\).

A te wyniki się wzajemnie wykluczają.

O co chodzi?
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Zapis w sumie - co oznacza ?

Post autor: »

matinf pisze:Ale również można łatwo do wyniku:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}i2^i}\).
Jak można dojść do takiego wyniku?

Q.
matinf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1922
Rejestracja: 26 mar 2012, o 18:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 695 razy
Pomógł: 4 razy

Zapis w sumie - co oznacza ?

Post autor: matinf »

Heh, pomyliłem się w trakcie pisania tematu
\(\displaystyle{ \sum_{1\le\i \le j\le n}2^i}\)

Ma być:

\(\displaystyle{ \sum_{1\le\j \le i\le n}2^i}\)
Wówczas ze zmiany kolejności sumowania.
No, ale dobrze. To było pouczające. W każdym bądź razie Twoje obliczenie jest poprawne dla mojego 1go postu.

Prawda ? Zaś wynik, który otrzymuję jest ok ( dla poprawionego postu)
ODPOWIEDZ