Witam,
Jak obliczyć taką sumę?
\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n}\frac{1}{(k-1)(k)(k+1)}}\)
Obliczyć sumę
-
jarek4700
- Użytkownik
- Posty: 939
- Rejestracja: 26 gru 2009, o 17:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Mazowsze
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 228 razy
Obliczyć sumę
Rozkładając na ułamki proste masz \(\displaystyle{ \frac{1}{(k-1)k(k+1)} = \frac{1}{2(k-1)} + \frac{-1}{k} + \frac{1}{2(k+1)}}\)
Przyjrzyj się sumie takich wyrazów:
\(\displaystyle{ \left[\frac{1}{2(m-1)} + \frac{-1}{m} + \frac{1}{2(m+1)}\right] + \left[\frac{1}{2m} +
\frac{-1}{m+1} + \frac{1}{2(m+2)}\right] + \left[\frac{1}{2(m+1)} + \frac{-1}{m+2} + \frac{1}
{2(m+3)}\right] + \left[\frac{1}{2(m+2)} + \frac{-1}{m+3} + \frac{1}{2(m+4)}\right] +
\left[\frac{1}{2(m+3)} + \frac{-1}{m+4} + \frac{1}{2(m+5)}\right]}\)
Zobacz co się dzieje z wyrazami które mają w mianowniku czynnik \(\displaystyle{ (m+1)}\). Sumują się do zera - to samo dzieje się z tymi które mają czynniki \(\displaystyle{ (m+2)}\) oraz \(\displaystyle{ (m+3)}\).
Przyjrzyj się sumie takich wyrazów:
\(\displaystyle{ \left[\frac{1}{2(m-1)} + \frac{-1}{m} + \frac{1}{2(m+1)}\right] + \left[\frac{1}{2m} +
\frac{-1}{m+1} + \frac{1}{2(m+2)}\right] + \left[\frac{1}{2(m+1)} + \frac{-1}{m+2} + \frac{1}
{2(m+3)}\right] + \left[\frac{1}{2(m+2)} + \frac{-1}{m+3} + \frac{1}{2(m+4)}\right] +
\left[\frac{1}{2(m+3)} + \frac{-1}{m+4} + \frac{1}{2(m+5)}\right]}\)
Zobacz co się dzieje z wyrazami które mają w mianowniku czynnik \(\displaystyle{ (m+1)}\). Sumują się do zera - to samo dzieje się z tymi które mają czynniki \(\displaystyle{ (m+2)}\) oraz \(\displaystyle{ (m+3)}\).