funkcja tworząca

[niebieska_biedronka]

Wyznaczyć funkcję tworzącą dla ciągu \(\displaystyle{ a_n = (-1,0,1,0,3,0,5,...)}\).

Wyznaczyłam wzór \(\displaystyle{ a_n = \begin{cases} 0, \quad \quad n=2k, k\in \mathbb{Z} \\ n-2, \quad \quad n=2k+1, k\in \mathbb{Z} \end{cases}}\)
Mam wzór w postaci jawnej, więc wystarczy wstawić do wzoru na funkcję? czy tu jest jakiś haczyk?

[jarek4700]

Może chodzi o to żeby ten szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n}}\) przedstawić w postaci skończonego napisu.

[niebieska_biedronka]

tak tak, pytanie czy dobrze zaczęłam wyszło mi \(\displaystyle{ f(x) = x^2 -1 + \frac{1}{(1-x)^2}}\) dla \(\displaystyle{ n}\) nieparzystych, prosiłabym o sprawdzenie

[jarek4700]

\(\displaystyle{ f(x) = \sum_{0}^{ \infty }(n-2)x^{2n+1} = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{ \infty }(2n+2)x^{2n+1} - 3 \sum_{n=0}^{ \infty }x^{2n+1} =}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\frac{d}{dx} \sum_{n=0}^{ \infty }x^{2n+2} - 3 \sum_{n=0}^{ \infty }x^{2n+1}= \frac{1}{2}\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{2}}{1-x^{2}}\right) - \frac{3x}{1-x^{2}} =}\)
\(\displaystyle{ =\frac{x}{(1-x^{2})^{2}} - \frac{3x}{1-x^{2}} = \frac{x(3x^{2}-2)}{(1-x^{2})^{2}}}\)

[Mariusz M]

jarek4700, źle policzyłeś tę funkcję tworzącą wyrazy ciągu indeksujesz od zera
więc niezerowe są te z indeksami parzystymi
Dodatkowo wzór na wyraz ciągu trzeba nieco zmodyfikować

Równanie rekurencyjne

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{0}=-1 \\ a_{1}=0\\a_{n}=2\left( 1- \left( n \mod 2\right) \right)+a_{n-2} \end{cases}}\)

Funkcja tworząca

\(\displaystyle{ a_{0}=-1\\
a_{1}=0\\
\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}= \sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n-2}x^{n}}+\frac{2x^2}{1-x^2}\\}\)

[niebieska_biedronka]

Czyli powinno być \(\displaystyle{ f(x) = \sum_{0}^{ \infty }(n-2)x^{2n}}\) ?

Dlaczego muszę zapisywać wzór rekurencyjnie?

[Mariusz M]

Powinno być \(\displaystyle{ f\left( x\right)= \frac{3x^2-1}{\left( 1-x^2\right)^2 }}\)

Jak zapiszesz wzór rekurencyjnie to łatwiej ci tę funkcje tworzącą będzie znaleźć

[niebieska_biedronka]

Prawie mi wyszło, ale mam tak:
\(\displaystyle{ f(x) = \sum_{0}^{ \infty }(n-2)x^{2n} = \frac{1}{2} \sum_{0}^{\infty} (2n+1)x^{2n}-\frac{5}{2} \sum_{0}^{\infty} x^{2n} = \frac{1}{2} \frac{d}{dx} \left( x \cdot \frac{1}{1-x^2} \right) - \frac{5}{2(1-x^2)} = \frac{3x^2-2}{(1-x^2)^2}}\)

[Mariusz M]

Zauważ że wam nie zgadzają się współczynniki z wykładnikami
Jaki jest współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{2n}}\)
Ja jednak jestem za tym żeby zapisać ciąg rekurencyjnie , wtedy wychodzi łatwo

Jak chcesz bez rekurencji to spróbuj w ten sposób

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }{\left( 2n-1\right)x^{2n} }= \sum_{n=0}^{ \infty }{\left( 2n+1\right)x^{2n} }- \sum_{n=0}^{ \infty }{2x^{2n} \mbox{d}x }\\
= \frac {\mbox{d} }{ \mbox{d}x }\left( \sum_{n=0}^{ \infty }x^{2n+1} \right)- \sum_{n=0}^{ \infty }{2x^{2n}}}\)

Otrzymany szereg jest geometryczny więc łatwo obliczyć jego sumę

[niebieska_biedronka]

Zauważ że wam nie zgadzają się współczynniki z wykładnikami

tzn?

Ja jednak jestem za tym żeby zapisać ciąg rekurencyjnie , wtedy wychodzi łatwo

tylko że nieco trudniej zapisać ten ciąg rekurencyjnie

[Mariusz M]

Zauważ że wam nie zgadzają się współczynniki z wykładnikami

tzn?

Źle indeksujecie współczynniki tego szeregu

Szereg powinien wyglądać tak
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }{\left( 2n-1\right)x^{2n} }}\)

[niebieska_biedronka]

Ok już rozumiem. wielkie dzięki!

[Mariusz M]

tylko że nieco trudniej zapisać ten ciąg rekurencyjnie

Nie przesadzajmy , wzór rekurencyjny jest łatwy do zauważenia

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{0}=-1 \\ a_{1}=0\\a_{n}=a_{n-2}+1+\left( -1\right)^n \end{cases}}\)

Rekurencja jednorodna

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{0}=-1 \\ a_{1}=0\\a_{2}=1\\a_{3}=0\\a_{n}=2a_{n-2}-a_{n-4} \end{cases}}\)