Kombinatoryka i prawdopodobienstwo

[jarodol]

1. Na przystanku czeka na tramwaj 5 osób. Nadjeżdża skład złożony z 7 wagonów. Ile jest
możliwych sposobów umieszczenia tych pięciu osób w tramwaju, jeśli wszystkie osoby mają się
znaleźć w dwóch wagonach ?

2. Z dwóch klas trzecich : III A i III B może pojechać na wycieczkę tylko jedna osoba, którą
wybieramy losowo w sposób następujący : rzucamy trzy razy monetą i jeśli wypadną same reszki,
to uczestnika wycieczki losuje się z klasy III A, a w pozostałych przypadkach z klasy III B.
Oblicz prawdopodobieństwo, że na wycieczkę pojedzie chłopiec, jeśli w klasie III A jest
15 chłopców i 15 dziewcząt, a w klasie III B jest 10 dziewcząt i 20 chłopców.

3. Uczestników turnieju szachowego rozdzielono na dwie rozłączne grupy A i B. Stosunek liczby
graczy w grupach A i B jest równy 2 : 3. W każdej grupie grał każdy zawodnik z każdym.
Rozegrano 94 partie. Ile wynosić będzie ilość rozegranych partii, gdyby podzielić tych samych
zawodników na 2 równoliczne grupy ?

[Kacperdev]

1. Najpierw sprawdzmy ile jest możliwości wybrania wagonów. Jest to oczywiscię \(\displaystyle{ {7 \choose 2}}\).

Teraz pytami na ile sposobów moge powrzucac te \(\displaystyle{ 5}\) osób do tych \(\displaystyle{ 2}\) wagonów.

Pierwsza osoba \(\displaystyle{ 2}\) sposoby (pierwszy albo drugi wagon)... druga osoba tak samo... itd.

Łacznie: \(\displaystyle{ 2^5}\)

Ale musimy pozbyć sie dwóch sytuacji kiedy wszystkie osoby sa w jednym albo wszystkie są w drugim więc \(\displaystyle{ 2^5-2}\)

Podsumowując: \(\displaystyle{ {7 \choose 2} \cdot \left(2^5-2 \right)}\)

[jarodol]

no tak... brakowalo mi wlasnie odjęcia tych dwóch sytuacji.... dzięki

Ktoś ma pomysł na następne?

[miodzio1988]

2. Zwykłe drzewko wystarczy. Dosyć proste zadanie, spróbuj

[jarodol]

no tak.... ulozylem drzewko i wyszlo mi ze prawdopodobienstwo wybrania klasy A jest 1/8 a B - 5/8 no i chcialem z tego ulozyc drugie drzewko no ale sie nie da bo suma tych prawdopodobienstw nie jest rowna 1.....

[miodzio1988]

A czemu \(\displaystyle{ \frac{5}{8}}\) do klasy B?

[jarodol]

bo w kazdym pozostalym przypadku ma byc klasa B. Są możliwości:

\(\displaystyle{ (O,O,O) (O,O,R) (O,R,O) (O,R,R) (R,O,O)}\)

Każde z tych zdarzeń ma prawdopodobienstwo \(\displaystyle{ \frac{1}{8}}\) czyli razem prawdopodobienstwo wynosi \(\displaystyle{ \frac{5}{8}}\).

Coś robie nie tak?

[miodzio1988]

jest 7 pozostalych przypadkow

[Kacperdev]

Lecimy z drzewkiem od góry.

Prawdopodobienstwo wybrania IIIA to \(\displaystyle{ \frac{1}{8}}\)

Siedzimy teraz w klasie IIIA. Jest tam tyle samo chlopców co dziewczynek, czyli prawdopodobieństwo wybrania chłopca z IIIA to \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

Oba zdarzenia (rzut moneta i wybranie chłopaka z klasy) są niezależne więc prawdopodobieństwo zajścia pierwszego i drugiego zdarzenia jest równa iloczynowi prawdopodobieństw.

dla klasy IIIA: \(\displaystyle{ \frac{1}{16}}\)
---
Druga gałązka wychodząca z górnego wierzchołka sunie do IIIb. Prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ \frac{7}{8}}\)

siedzimy w IIIb.

tam prawdopodobieństwo wybrania chłopaka to \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)

i znowu... mnożymy \(\displaystyle{ \frac{14}{24}}\)

ostatecznie dodajemy te dwa prawdopodobieństwa:

\(\displaystyle{ \frac{14}{24} + \frac{1}{16}}\) - nasze prawdopodobienstwo.

[jarodol]

o rany no faktycznie nie wiem jak to sie stalo ze zapomnialem o tym........
no to ostatnie zostało

[Majeskas]

Niech w turnieju bierze udział \(\displaystyle{ 5n}\) osób. Wtedy mamy \(\displaystyle{ 2n}\) zawodników w grupie A i \(\displaystyle{ 3n}\) w B. Meczy w każdej grupie jest do rozegrania tyle, na ile sposobów możemy wybrać parę graczy, która ma rozegrać ze sobą mecz. Dostajemy równanie
\(\displaystyle{ {2n\choose2}+{3n\choose2}=94}\)

Po jego rozwiązaniu dowiemy się, ile osób gra w turnieju i łatwo znajdziemy liczbę meczy przy podziale na grupy równoliczne.

[jarodol]

ok rozumiem. dzieki wielkie wszystkim