Liczba uczestników turnieju

[matmatmm]

W pewnym turnieju, w którym każdy grał z każdym jeden raz, uczestniczyli zawodnicy z dwóch grup: \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\). Po zakończeniu turnieju okazało się, że każdy zawodnik połowę uzyskanych punktów zdobył w grach z zawodnikami z grupy \(\displaystyle{ B}\). Za zwycięstwo zawodnik otrzymywał \(\displaystyle{ 1}\) punkt, za przegraną – \(\displaystyle{ 0}\) punktów (sytuacji remisowych nie było). Oznacza to, że liczba zawodników w turnieju:
a) musiała być liczbą parzystą,
b) mogła być liczbą nieparzystą,
c) musiała być kwadratem liczby naturalnej.

Wszystkie odpowiedzi mogą być poprawne lub niepoprawne. Proszę o pomoc.

[arek1357]

Jak widać liczba w ogóle meczy granych z udziałem zawodników z grupy B to połowa wszystkich meczy

niech drużyna A liczy n zawodników a drużyna B m zawodników i wtedy mamy:

\(\displaystyle{ mn+ {m \choose 2} = \frac{1}{2} {n+m \choose 2}}\)

po przekształceniach otrzymamy:


\(\displaystyle{ m^2+(2n-1)m-(n^2-n)=0}\)

\(\displaystyle{ D= \sqrt{8n^2-8n+1}}\)

\(\displaystyle{ m= \frac{-2n+1+\sqrt{8n^2-8n+1}}{2}}\)

rozwiązaniem np. może być:

\(\displaystyle{ n=3,m=1}\)

czyli liczba uczestników wynosi \(\displaystyle{ 4}\)

Czyli jest liczbą parzystą jest kwadratem a w sumie może być liczbą parzystą,lecz radziłbym jeszcze poszukać jakiegoś rozwiązania w tym wypadku się zgadza wystarczy przyjąć:

\(\displaystyle{ (a_{1},a_{2})=(1:0)}\)

\(\displaystyle{ (a_{1},a_{3})=(0:1)}\)

\(\displaystyle{ (a_{2},a_{3})=(1:0)}\)

\(\displaystyle{ (a_{1}, b)=(1:0)}\)

\(\displaystyle{ (a_{2}, b)=(1:0)}\)

\(\displaystyle{ (a_{3}, b)=(1:0)}\)

Czyli każdy uczestnik turnieju albo wygrywa dwa razy w tym jeden mecz wygrany z zawodnikiem z drużyny B albo wygrywa zero razy czyli też się zgadza...

można jeszcze szukać czy ilość zawodników może być nieparzysta...



znalazłem jeszcze dla:

\(\displaystyle{ n=15, m=6}\)

czyli liczba uczestników wynosi \(\displaystyle{ 21}\)

Więc jest chyba odpowiedź na wszystkie pytania

[matmatmm]

Jak widać liczba w ogóle meczy granych z udziałem zawodników z grupy B to połowa wszystkich meczy

Wydaje mi się, że to nieprawda.

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ n}\) liczbę zawodników w grupie \(\displaystyle{ A}\) i przez \(\displaystyle{ m}\) liczbę zawodników w grupie \(\displaystyle{ B}\).
Oznaczmy przez \(\displaystyle{ 2x_1,\ldots,2x_n}\) liczby punktów uzyskanych w sumie przez kolejnych zawodników z grupy \(\displaystyle{ A}\) oraz przez \(\displaystyle{ 2y_1,\ldots,2y_m}\) liczby punktów uzyskanych przez zawodników z grupy \(\displaystyle{ B}\).
Liczba wszystkich meczy jest równa sumie wszystkich punktów czyli \(\displaystyle{ 2(x_1 +\ldots +x_n+y_1+\ldots+y_m)}\).
Liczba meczy granych z udziałem zawodników z grupy \(\displaystyle{ B}\) jest równa \(\displaystyle{ (x_1+\ldots+x_n)+2(y_1+\ldots+y_m)}\), gdyż jest to suma punktów, które zdobyli zawodnicy grupy \(\displaystyle{ A}\) z zawodnikami grupy \(\displaystyle{ B}\) i zawodnicy grupy \(\displaystyle{ B}\) w ogóle.

Jak widać, ta pierwsza liczba nie musi być dwa razy większa od tej drugiej.
W twoim przykładzie \(\displaystyle{ n=3,m=1}\) oraz \(\displaystyle{ y_1=0}\) więc akurat wszystko się zgadza.

[arek1357]

To podaj przykład że się nie zgadza sam chętnie zobaczę

[matmatmm]

\(\displaystyle{ n=1,m=3}\)

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{r|c|ccc}

X & 1 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
1 & X & 0 & 0 & 0 \\
\hline
1 & 1 & X & 1 & 0 \\
2 & 1 & 0 & X & 1 \\
3 & 1 & 1 & 0 & X \\
\end{tabular}}\)

Liczba wszystkich meczów wynosi \(\displaystyle{ 6}\) oraz w każdym uczestniczył zawodnik grupy \(\displaystyle{ B}\).

[arek1357]

Z mojego ostatniego wzoru na n dla \(\displaystyle{ n=1}\) m nie wychodzi 3 tylko zero

[matmatmm]

Bo wzór jest błędny. Doszedłem już do rozwiązania. Kontynuując rozumowanie w poprzednich oznaczeniach

\(\displaystyle{ x_1 +\ldots +x_n= { n \choose 2}}\)
\(\displaystyle{ y_1+\ldots + y_m= {m \choose 2}}\)
\(\displaystyle{ x_1 +\ldots +x_n+y_1+\ldots + y_m=mn}\)

zatem \(\displaystyle{ {n \choose 2}+ {m\choose 2} = mn}\)
po przekształceniach \(\displaystyle{ (n-m)^2=m+n}\)
czyli prawdą jest c
Prawdą też jest b, bo biorąc \(\displaystyle{ n=6,m=3}\) udało mi się dobrać wyniki tak, by się zgadzało.