Obliczenie sumy dwumianow od 2 po 2, do n po 2.

[misial]

Problem z policzeniem sumy:
\(\displaystyle{ \bigsum_{k=2}^{n}\.{k\choose 2}}\)

a lepiej ogólnie:
\(\displaystyle{ \bigsum_{i=k}^{n}\.{i\choose k}}\)

[liu]

\(\displaystyle{ \Bigsum_{k=n}^m {k \choose n} = {m+1 \choose n+1} \,\,\,(m\geq n\geq 0)}\)
Dowod indukcyjny.

Edit: Przepraszam, nie indukcyjny, chociaz pewnie tez by sie dalo, najprosciej wyprowadzic z tozsamosci:

\(\displaystyle{ \Bigsum_{k=0}^m {n+k \choose n} = { n+m+1 \choose n+1 } \,\, (m\geq 0)}\)
ktora sie dowodzi indukcyjnie;)

[_el_doopa]

zauważ:
\(\displaystyle{ \Bigsum_{i=k}^{n} {i\choose k}={{k+1}\choose {k+1}}+\Bigsum_{i=k+1}^{n} {i\choose k}}\)

oraz:
\(\displaystyle{ {n\choose k} + {n\choose {k+1}}={{n+1}\choose {k+1}}}\)

wynik jest taki:

\(\displaystyle{ \Bigsum_{i=k}^{n} {i\choose k}={{n+1}\choose {k+1} }}\)