Problem z policzeniem sumy:
\(\displaystyle{ \bigsum_{k=2}^{n}\.{k\choose 2}}\)
a lepiej ogólnie:
\(\displaystyle{ \bigsum_{i=k}^{n}\.{i\choose k}}\)
Obliczenie sumy dwumianow od 2 po 2, do n po 2.
-
- Użytkownik
- Posty: 1330
- Rejestracja: 10 paź 2004, o 13:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów
- Pomógł: 104 razy
Obliczenie sumy dwumianow od 2 po 2, do n po 2.
\(\displaystyle{ \Bigsum_{k=n}^m {k \choose n} = {m+1 \choose n+1} \,\,\,(m\geq n\geq 0)}\)
Dowod indukcyjny.
Edit: Przepraszam, nie indukcyjny, chociaz pewnie tez by sie dalo, najprosciej wyprowadzic z tozsamosci:
\(\displaystyle{ \Bigsum_{k=0}^m {n+k \choose n} = { n+m+1 \choose n+1 } \,\, (m\geq 0)}\)
ktora sie dowodzi indukcyjnie;)
Dowod indukcyjny.
Edit: Przepraszam, nie indukcyjny, chociaz pewnie tez by sie dalo, najprosciej wyprowadzic z tozsamosci:
\(\displaystyle{ \Bigsum_{k=0}^m {n+k \choose n} = { n+m+1 \choose n+1 } \,\, (m\geq 0)}\)
ktora sie dowodzi indukcyjnie;)
Ostatnio zmieniony 23 sty 2005, o 17:11 przez liu, łącznie zmieniany 4 razy.
Obliczenie sumy dwumianow od 2 po 2, do n po 2.
zauważ:
\(\displaystyle{ \Bigsum_{i=k}^{n} {i\choose k}={{k+1}\choose {k+1}}+\Bigsum_{i=k+1}^{n} {i\choose k}}\)
oraz:
\(\displaystyle{ {n\choose k} + {n\choose {k+1}}={{n+1}\choose {k+1}}}\)
wynik jest taki:
\(\displaystyle{ \Bigsum_{i=k}^{n} {i\choose k}={{n+1}\choose {k+1} }}\)
\(\displaystyle{ \Bigsum_{i=k}^{n} {i\choose k}={{k+1}\choose {k+1}}+\Bigsum_{i=k+1}^{n} {i\choose k}}\)
oraz:
\(\displaystyle{ {n\choose k} + {n\choose {k+1}}={{n+1}\choose {k+1}}}\)
wynik jest taki:
\(\displaystyle{ \Bigsum_{i=k}^{n} {i\choose k}={{n+1}\choose {k+1} }}\)