Liniowe równanie rekurencyjne

[macieq44]

Mam problem z pewnym równaniem rekurencyjnym:

\(\displaystyle{ a_{n} = a_{n-1} + \frac{1}{2}n(n-1) + 1}\)

próbowałem korzystać z 304902.htm, ale niestety nie do końca wiem jak to zrobić w tym przypadku.

Byłbym bardzo wdzięczny za jakieś wskazówki

[szw1710]

Zrób tak: zapisz

\(\displaystyle{ \begin{aligned}
a_n-a_{n-1}&=\frac{1}{2}n(n-1)+1\\[1ex]
a_{n-1}-a_{n-2}&=\frac{1}{2}(n-1)(n-2)+1\\[1ex]
&\phantom{=}\vdots\\
a_2-a_1&=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 1+1
\end{aligned}}\)

Dodając stronami mamy po lewej \(\displaystyle{ a_n-a_1}\), a po prawej otwieramy nawiasy i korzystamy ze znanych wzorów na sumę kwadratów, sumę ciągu arytmetycznego itp.

Widać, że brakuje Ci punktu startowego. Trzeba wiedzieć ile wynosi \(\displaystyle{ a_1}\). Chyba że pójdziemy jeszcze niżej dostając \(\displaystyle{ a_1-a_0=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 0+1=1}\). Ale tu też brakuje \(\displaystyle{ a_0}\).

[macieq44]

Dziękuję bardzo
zobaczę co mi z tego wyjdzie


PS Tak, tak... zapomniałem dodać warunku początkowego:
\(\displaystyle{ a_1 = 1}\)

[szw1710]

Bo \(\displaystyle{ a_1-a_0=1}\), więc skoro \(\displaystyle{ a_0}\) nie ma, więc \(\displaystyle{ a_0=0}\)

[macieq44]

Hmm... w sumie to znów się zaciąłem. Doszedłem do:
\(\displaystyle{ a_n - a_1 = \frac{1}{2}\left\{ (n-1)n^2 -(2n-1)n + S_n \right\}}\)

gdzie \(\displaystyle{ S_n}\), to suma:
\(\displaystyle{ S_n = 0 + 2 +6 + 12 + ... = \sum_{i=1}^{n} b_i \\ b_n = b_{n-1} + 2(n-1),\\ b_n = n(n-1)}\)

I dochodzę do wniosku, że robię coś źle, bo będę tak ciągle się zapętlał w tej rekurencji.

Edit:
po ponownym liczeniu i zmienieniu podejścia do grupowania wyrazów, otrzymuję:
\(\displaystyle{ a_n - a_1 = \frac{1}{2}\left \{ n(n-1) + (n-1)(n-2) + ... + 2\cdot1 \right \} + n -1 \\
a_n = a_1 + \frac{1}{2}\left \{ (n-1)^2 + (n-1) + (n-2)^2 + (n-2) + ... + 1^2 + 1\right \} + n -1 \\
a_n = \frac{1}{2}\left \{ \frac{1}{6}(n+1)(2n^2 - 5n + 6) - \frac{1}{2}(n-2)(n+1) \right \} + n}\)

co po uproszczeniu daje zupełnie inny wynik niż, po wpisaniu tego równania do wolframalpha

[szw1710]

Nie. Będziesz mieć \(\displaystyle{ a_n-a_1=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n i^2-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n i+ n}\). Przecież \(\displaystyle{ a_i-a_{i-1}=\frac{1}{2}i^2-\frac{1}{2}i+1}\), gdzie \(\displaystyle{ i=1,\dots,n}\).

[macieq44]

No tak, prawda właśnie to zauważyłem (jak wyżej)

tylko chyba będzie \(\displaystyle{ n - 1}\) sumowań?

EDIT:
Okej, wszystko działa. Miałem błędy rachunkowe, które wynikały z błęnych obliczeń Wolframa źle mi podawało wzory na odpowiednie sumy

Dziękuję bardzo za pomoc!