Monochromatyczny zbiór sum

[Spektralny]

Zadanie jest następujące: pokazać nie używając , ultrafiltrów etc., że jeżeli pokolorujemy \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\) na skończenie wiele kolorów, to znajdziemy ściśle rosący ciąg liczb naturalnych

\(\displaystyle{ x_1 < x_2 < \ldots < \ldots}\)

o tej własności, że zbiór

\(\displaystyle{ \{x_i + x_j \colon i\neq j\}}\)

jest monochromatyczny.

Dodatkowo, pokazać, że na ogół nie da się wybrać takiego rosnącego ciągu jak wyżej by zbiór

\(\displaystyle{ \{x_i + 2x_j \colon i\neq j\}}\)

był monochromatyczny.