Ile jest liczb siedmiocyfrowych dla danych założeń

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
ZagubionyMatematyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 10 mar 2014, o 16:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gniezno

Ile jest liczb siedmiocyfrowych dla danych założeń

Post autor: ZagubionyMatematyk »

Treść zadania:

Oblicz, ile jest liczb naturalnych 7-cyfrowych, w zapisie których występuje dokładnie 3 razy cyfra zero i dokładnie raz występuje cyfra 2.

Według mojego rozumowania będzie to tak:
_ _ _ _ _ _ _
Na 6 sposobów możemy ustawić cyfrę 0(Nie może być na pierwszym miejscu).
Drugą cyfrę 0 na 5 sposobów.
Trzecia cyfra 0 na 4 sposoby.
Cyfrę 2 możemy ustawić na pozostałych 4 miejscach.
Zostały na 3 miejsca, na których ustawić możemy wszystkie cyfry z wyjątkiem 0 i 2, czyli \(\displaystyle{ 8^{3}}\)

W sumie 6*5*4*4*\(\displaystyle{ 8^{3}}\)
Nieważny jest już wynik, chodzi o sam sposób obliczenia, gdyż jest błędny.

I tutaj jest czas na moje pytanie, gdzie w tym sposobie rozumowania tkwi błąd?
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

Ile jest liczb siedmiocyfrowych dla danych założeń

Post autor: mat_61 »

Jeżeli rozmieszczasz trzy zera na dowolnych z sześciu miejsc to nie możesz policzyć ilości możliwych rozmieszczeń jako mnożenie \(\displaystyle{ 6 \cdot 5 \cdot 4}\) bo wóczas liczyłbyś wielokrotnie te same rozmieszczenia.

Przykładowo jak wybierzesz kolejno miejsca \(\displaystyle{ 2, 4, 5}\) dla rozmieszczenia zer, to będzie to takie samo romieszczenie jakbyś wybrał kolejno np. \(\displaystyle{ 4, 2, 5}\) albo \(\displaystyle{ 2, 5, 4}\) itd.

Zera możesz rozmieścić na \(\displaystyle{ C^3_6= {6 \choose 3}}\) sposobów.
ODPOWIEDZ