Dziwny przykład

[Kuset]

Bardzo proszę o pomoc w takim przykładzie. Nawet nie wiem jaki jest to zakres materiału, ale przerabialiśmy to na "rachunku prawdopodobieństwa"

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} k ^{2} {n \choose k} p ^{k} q ^{n-k} = n ^{2} p ^{2} +npq}\)
Zadanie polega na tym by dalej to rozwiązać, tylko ja nie wiem od czego tu zacząć

[miodzio1988]

Ale co dalej rozwiązać? jaka jest dokładnie treść?

[Kuset]

Nie było żadnej treści. Pan profesor napisał ten przykład na tablicy, a następnie w ramach podpowiedzi napisał nam dalszą część, tzn po \(\displaystyle{ =}\). Niestety w niczym mi to nie pomogło i zastanawiam się co to jest.

[miodzio1988]

Ale masz udowodnić ten wzór czy co? Konkretnie

[Kuset]

To może przedstawię to co było robione wcześniej.
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} p ^{k} q ^{n-k} =(p+q) ^{n} =1}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} p ^{k} q ^{n-k} = \sum_{k=1}^{n} k \frac{n!}{k!(n-k)!} p ^{k} q ^{n-k} = np \sum_{k=1}^{n} \frac{(n-1)!}{(k-1)![(n-1)-(k-1)]!} p ^{k-1}q ^{(n-1)-(k-1)} = \left| m=k-1\right| i \left|m=0 \right|= np \sum_{m=0}^{n-1} {n-1 \choose k-1}p ^{m} q ^{n-1-m} = np(p+q) ^{n-1} = np}\)

I na podstawie tego mam obliczyć to co dałem w pierwszym poście

[miodzio1988]

Ok, którego kroku nie rozumiemy?

[Kuset]

Nie wiem od czego nawet zacząć Jak dla mnie to ten przykład jest już rozwiązany już po \(\displaystyle{ =}\) Ja mam to wyrażenie uprościć, coś wyznaczyć?

[miodzio1988]

jezeli dla Ciebie oczywista jest ta równość to pokaż nam to.

[Kuset]

Jak skrócić \(\displaystyle{ k ^{2}}\) z \(\displaystyle{ k!}\)? To będzie \(\displaystyle{ (k-2)!}\) ?

[miodzio1988]

Ale skąd takie bzdury bierzesz? Który krok nie jest zrozumiały w rozwiązaniu?

[Kuset]

Podszedłem do tego przykładu analogicznie jak były robione wcześniej, tylko w miejsce k wstawiłem \(\displaystyle{ k ^{2}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} k ^{2} {n \choose k} p ^{k} q ^{n-k} = n ^{2} p ^{2} +npq = \sum_{k=1}^{n} k ^{2} \frac{n!}{k!(n-k)!} p ^{k} q ^{n-k}}\)

Chciałem teraz skrócić sobie \(\displaystyle{ k ^{2}}\) z \(\displaystyle{ k!}\)

[norwimaj]

Jak skrócić \(\displaystyle{ k ^{2}}\) z \(\displaystyle{ k!}\)?

\(\displaystyle{ k^2=k(k-1)+k.}\)

W ten sposób dostajesz dwa składniki, z których każdy możesz skrócić z \(\displaystyle{ k!}\). (dla \(\displaystyle{ k\ge2}\))

[Kuset]

Czy z tego skrócenia wyjdzie \(\displaystyle{ (k-1) ^{2} + (k-1)}\)