Dylemat hazardzisty

[squared]

Chyba kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa nie są moimi mocnymi stronami , bo w ogóle tego nie widzę.

Gracz stawia co grę \(\displaystyle{ 1PLN}\), że przy rzucie monetą wypadnie reszka. Gdy rzeczywiście wypada reszka, gracz wygrywa \(\displaystyle{ 1PLN}\), gdy wypadnie orzeł - gracz przegrywa \(\displaystyle{ 1PLN}\). Gracz kończy grę albo wtedy, gdy traci wszystkie pieniądze albo wtedy, gdy wyrywa \(\displaystyle{ MPLN}\) (przy czym jest to z góry określona wartość). Niech \(\displaystyle{ P_{n}}\) oznacza prawdopodobieństwa, że gracz przegra wszystkie pieniądze przy założeniu, że zaczynał mając \(\displaystyle{ nPLN}\).
a) Określić\(\displaystyle{ P_{n}}\) rekurencyjnie
b) Podać wzór jawny na \(\displaystyle{ P_{n}}\)
c) Jak gracz powinien ustalić \(\displaystyle{ M}\), żeby zminimalizować prawdopodobieństwo przegrania?

Rozrysowałem sobie to wszystko, w sensie po kolei dla kwoty \(\displaystyle{ 1, 2, 3 PLN}\). I co się dzieje, gdy przegra i wygra. To ja długo musi grać zależy od kwoty \(\displaystyle{ M}\). Wydaje mi się, że gra wygrana w najkrótszym przypadku będzie trwać \(\displaystyle{ M-n}\) rzutów monetą - oczywiście może trwać o wiele dłużej. Gra przegrana w najszybszym przypadku trwa \(\displaystyle{ n}\) rzutów. No i mam problem potem z liczeniem tego prawdopodobieństwa, ponieważ to się strasznie szybko rozrasta wszystko.

[AdamL]

Zależność rekurencyjna: pomyśl nad czymś takim:
\(\displaystyle{ P_n = \frac{1}{2} \cdot P_{n-1} + \frac{1}{2} \cdot P_{n+1}}\)

Metody rozwiązywania równań rekurencyjnych o stałych współczynnikach przez wielomian charakterystyczny są gdzieś na forum -> poszukaj.

c) M=0 i masz 100% wygraną....

[squared]

Wiem, że taki wynik jest, ale chodzi mi o jego genezę skąd takie coś się bierze, tego właśnie nie rozumiem.

No \(\displaystyle{ M=0}\) to wiadomo, ale chodzi o \(\displaystyle{ M>0}\)

[AdamL]

Rozrysuj sobie najlepiej kropki, które symbolizują stany (możliwe kapitały....skok o 1) zastanów się nad warunkami brzegowymi, oraz rozrysuj sobie, co w dowolnym punkcie (jakiejś kropce) może się stać i z jakim prawdopodobieństwem....

[squared]

No ja sobie rozrysowałem takie jakby drzewko i widać tam tą \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) jednak to jest takie tylko intuicyjne, a nie konkretne jakieś.

Co do kwoty \(\displaystyle{ M}\). Czy to nie będzie przypadkiem \(\displaystyle{ 2n-1}\)?

[norwimaj]

Co do kwoty \(\displaystyle{ M}\). Czy to nie będzie przypadkiem \(\displaystyle{ 2n-1}\)?

Prawdopodobieństwo przegrania jest niemalejącą funkcją \(\displaystyle{ M}\). Ciąg rzutów przegrywający dla \(\displaystyle{ M=M_1}\), jest tym bardziej ciągiem przegrywającym dla \(\displaystyle{ M=M_2}\), gdzie \(\displaystyle{ M_2>M_1}\).

[squared]

Przepraszam, że z takim poślizgiem.

Ogólnie wzór jawny to \(\displaystyle{ P_n=1-\frac{n}{M}}\)
Czyli najmniejsze prawdopodobieństwo przegrania jest dla \(\displaystyle{ M=1 \ \text{PLN}}\)?

[norwimaj]

Trochę dokładniej: \(\displaystyle{ P_n=\max\left(1-\frac nM,0\right)}\). Prawdopodobieństwo przegrania jest równe \(\displaystyle{ 0}\) dla \(\displaystyle{ M\le n}\).

[Mariusz M]

Zależność rekurencyjna: pomyśl nad czymś takim:
\(\displaystyle{ P_n = \frac{1}{2} \cdot P_{n-1} + \frac{1}{2} \cdot P_{n+1}}\)

Metody rozwiązywania równań rekurencyjnych o stałych współczynnikach przez wielomian charakterystyczny są gdzieś na forum -> poszukaj.

c) M=0 i masz 100% wygraną....

Lepiej te równanie rekurencyjne rozwiązać używając funkcji tworzącej
(Dochodzimy później do szeregów geometrycznych i jego pochodnych)

\(\displaystyle{ P_n = \frac{1}{2} \cdot P_{n-1} + \frac{1}{2} \cdot P_{n+1}\\
P_{n-1}= \frac{1}{2} \cdot P_{n-2} + \frac{1}{2} \cdot P_{n}\\
\frac{1}{2}P_{n}=P_{n-1}-\frac{1}{2} \cdot P_{n-2}\\
P_{n}=2P_{n-1}-P_{n-2}\\}\)

\(\displaystyle{ P\left( x\right)= \sum_{n=0}^{\infty}{p_{n}x^{n}}\\
\sum_{n=2}^{\infty}{p_{n}x^n}=\sum_{n=2}^{\infty}{2p_{n-1}x^{n}}+\sum_{n=2}^{\infty}{-p_{n-2}x^{n}}\\
\left( \sum_{n=0}^{\infty}{p_{n}x^{n}}-p_{1}x-p_{0} \right)=2x\left( \sum_{n=2}^{\infty}p_{n-1}x^{n-1}\right)-x^2\left( \sum_{n=2}^{\infty}p_{n-2}x^{n-2}\right) \\
\left( \sum_{n=0}^{\infty}{p_{n}x^{n}}-p_{1}x-p_{0} \right)=2x\left( \sum_{n=1}^{\infty}p_{n}x^{n}\right)-x^2\left( \sum_{n=0}^{\infty}p_{n}x^{n}\right) \\
\left( \sum_{n=0}^{\infty}{p_{n}x^{n}}-p_{1}x-p_{0} \right)=2x\left( \sum_{n=0}^{\infty}p_{n}x^{n}-p_{0}\right)-x^2\left( \sum_{n=0}^{\infty}p_{n}x^{n}\right) \\
P\left( x\right)-p_{1}x-p_{0}=2x\left( P\left( x\right)-p_{0} \right)-x^2P\left( x\right)\\
P\left( x\right)-p_{1}x-p_{0}=2xP\left( x\right)-2p_{0}x-x^2P\left( x\right)\\
\left( x^2-2x+1\right)P\left( x\right)=\left( p_{1}-2p_{0}\right)x+p_{0}\\
P\left( x\right)= \frac{\left( p_{1}-2p_{0}\right)x+p_{0}}{x^2-2x+1}\\
P\left( x\right)= \frac{\left( p_{1}-2p_{0}\right)x+p_{0}}{\left( 1-x\right)^2 }\\
\frac{\left( p_{1}-2p_{0}\right)x+p_{0}}{\left( 1-x\right)^2 }=\frac{A}{1-x}+ \frac{B}{\left( 1-x\right)^2 }\\
\left( p_{1}-2p_{0}\right)x+p_{0}=A\left( 1-x\right)+B\\
\left( p_{1}-2p_{0}\right)x+p_{0}=-Ax+\left( A+B\right) \\
\begin{cases} -A=p_{1}-2p_{0} \\ A+B=p_{0} \end{cases}\\
\begin{cases} A=2p_{0}-p_{1}\\B=p_{1}-p_{0} \end{cases}\\
P\left( x\right)=\left( 2p_{0}-p_{1}\right) \cdot \frac{1}{1-x}+\left( p_{1}-p_{0}\right) \cdot \frac{1}{\left( 1-x\right)^2 }}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{1-x}}\) to suma szeregu geometrycznego
\(\displaystyle{ \frac{1}{\left( 1-x\right)^2 }}\) ,można otrzymać różniczkując szereg geometryczny

\(\displaystyle{ P\left( x\right)=\left(2p_{0}-p_{1} \right) \cdot \sum_{n=0}^{\infty}{x^n}+\left( p_{1}-p_{0}\right) \cdot \sum_{n=0}^{\infty}{nx^{n-1}}\\
P\left( x\right)=\left(2p_{0}-p_{1} \right) \cdot \sum_{n=0}^{\infty}{x^n}+\left( p_{1}-p_{0}\right) \cdot \sum_{n=1}^{\infty}{nx^{n-1}}\\
P\left( x\right)=\left(2p_{0}-p_{1} \right) \cdot \sum_{n=0}^{\infty}{x^n}+\left( p_{1}-p_{0}\right) \cdot \sum_{n=0}^{\infty}{\left( n+1\right) x^{n}}\\
p\left( n\right)=\left( 2p_{0}-p_{1}\right) \cdot 1^{n}+\left( p_{1}-p_{0}\right)\left( n+1\right) \cdot 1^{n}\\
p\left( n\right)=\left( 2p_{0}-p_{1}\right)+\left( p_{1}-p_{0}\right)\left( n+1\right)\\
p\left( n\right)=\left( p_{1}-p_{0}\right)n+p_{1}-p_{0}+2p_{0}-p_{1}\\
p\left( n\right)=\left( p_{1}-p_{0}\right)n+p_{0}}\)

[norwimaj]

Metody rozwiązywania równań rekurencyjnych o stałych współczynnikach przez wielomian charakterystyczny są gdzieś na forum -> poszukaj.

Lepiej te równanie rekurencyjne rozwiązać używając funkcji tworzącej
(Dochodzimy później do szeregów geometrycznych i jego pochodnych)

Dajcie spokój! Czy to najprostsze sposoby na dopasowanie ciągu arytmetycznego do dwóch danych punktów?