Przedmioty i pudełka

[lennyh]

Na ile sposobów można rozmieścić \(\displaystyle{ n}\) rozróżnialnych przedmiotów w \(\displaystyle{ k}\) nierozróżnialnych pudełkach tak, by żadne pudełko nie zostało puste?

[leszczu450]

lennyh, mamy \(\displaystyle{ k}\) pudełek. Chcemy żeby w każdym już coś było. Wstawmy tam zatem już na początku \(\displaystyle{ k}\) przedmiotów. Każde pudło już jest niepuste oraz zostało nam \(\displaystyle{ n-k}\) przedmiotów do włożenia do tych \(\displaystyle{ k}\) pudeł. A na to już jest wzór.

\(\displaystyle{ {n-k + (k-1) \choose k-1}}\)

Wynik trzeba jeszcze przemnożyć przez \(\displaystyle{ k!}\) bowiem pudełka są rozróżnialne.

Z góry zaznaczam, że nie jestem pewien wyniku : ) Sam z rachunku prawdopodobieństwa jestem noga, a za mną tylko jedne ćwiczenia wprowadzające. Prosiłbym zatem kogoś o zweryfikowanie rozwiązania. Na pewno pomoże to i mi i autorowi tematu.

[szw1710]

Pudełka są nierozróżnialne, jak napisano w temacie zadania. Zweryfikuj rozwiązanie.

[leszczu450]

szw1710, zamiast przemnożyć przez \(\displaystyle{ k!}\) powinienem przemnożyć przez \(\displaystyle{ n!}\) ?

[szw1710]

Trzeba się zastanowić nad modelem. Zaczynasz dobrze. Pozostaje nam włożyć \(\displaystyle{ n-k}\) przedmiotów do \(\displaystyle{ k}\) pudełek. Ale ponieważ przedmioty są rozróżnialne, to rzeczywiście włożyć do nich (do każdego po jednym) \(\displaystyle{ k}\) przedmiotów można na \(\displaystyle{ k!}\) sposobów. Ale jeszcze trzeba wybrać jakiś podzbiór ze zbioru \(\displaystyle{ n}\) przedmiotów. Tak więc krok inicjujący możesz wykonać na \(\displaystyle{ \binom{n}{k}\cdot k!=\frac{n!}{(n-k)!}}\) sposobów. Pozostaje umieszczenie pozostałych przedmiotów. Najpierw bierzemy jakiś konkretny ciąg, jakoś je ustawiamy (na \(\displaystyle{ (n-k)!}\) sposobów), a następnie wrzucamy już jak leci, tzn. od tej pory przedmioty będą nierozróżnialne. Pozostaje nam więc włożyć \(\displaystyle{ n-k}\) nierozróżnialnych przedmiotów do \(\displaystyle{ k}\) nierozróżnialnych pudeł.

Ostatecznie będziemy mieć \(\displaystyle{ \frac{n!}{(n-k)!}\cdot(n-k)!\cdot x}\), gdzie \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą sposobów, ja jakie można włożyć \(\displaystyle{ n-k}\) nierozróżnialnych przedmiotów do \(\displaystyle{ k}\) nierozróżnialnych pudeł. Spróbuj wyznaczyć \(\displaystyle{ x}\).

[leszczu450]

szw1710, od samego początku Pana posta mało rozumiem. Da się Pan namówić na dłuższą dyskusję tutaj? : )

[szw1710]

Nie dziś

[kropka+]

Ale ponieważ przedmioty są rozróżnialne, to rzeczywiście włożyć do nich (do każdego po jednym) \(\displaystyle{ k}\) przedmiotów można na \(\displaystyle{ k!}\) sposobów.

Mam wątpliwości. Jeżeli pudełka są nierozróżnialne to jaka jest różnica przy jednym przedmiocie w pudełku, czy np. przedmiot pierwszy jest w pudełku piątym, a drugi w dziesiątym, czy na odwrót, czy jakkolwiek. Ważne, że w ogóle przedmioty pierwszy i drugi są już w pudełkach. Raczej zastanowiłabym się nad wyborem \(\displaystyle{ k}\) przedmiotów, które wkładamy po jednym do pudełek, czyli pomnożyłabym przez \(\displaystyle{ {n \choose k}}\).

[szw1710]

Dziękuję za podzielenie się tym spostrzeżeniem. Rzeczywiście masz rację.