Ile jest takich liczb

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Awatar użytkownika
Arytmetyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 357
Rejestracja: 14 sty 2014, o 23:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 105 razy
Pomógł: 41 razy

Ile jest takich liczb

Post autor: Arytmetyk »

1. Ile jest takich liczb 5 cyfrowych, które niezależnie od kierunku czytania przedstawiają tę samą liczbę?

robiłem to tak:
możliwe układy
\(\displaystyle{ xxxxx}\) - 9 możliwości
\(\displaystyle{ yyxyy}\) - x na 10 możliwości, y na 8
\(\displaystyle{ xyyyx}\) - y na 10, x na 8
\(\displaystyle{ xyxyx}\) - x na 9 i y na 8
\(\displaystyle{ xyzyx}\) - z na 10, y 9 i x na 8

czyli \(\displaystyle{ 9+80+80+72+720=961}\)

powinno wyjść 900, wiem, że tutaj się muszą powtarzać, tylko jak wyeliminować te powtarzające się przypadki?

2. Na ile sposobów można ustawić dwa króle na szachownicy o wymiarach n na m tak, aby nie stały na sąsiadujących polach?

tutaj nie wiem jak się za to zabrać

proszę o pomoc
szw1710

Ile jest takich liczb

Post autor: szw1710 »

Najważniejsza jest ta ostatnia: \(\displaystyle{ xyzyx}\). To całkowicie opisuje nam sprawę. \(\displaystyle{ x,y,z}\) biegną sobie niezależnie, przy czym \(\displaystyle{ x}\) zaczyna się od jedynki tak, aby liczba była rzeczywiście pięciocyfrowa.
Awatar użytkownika
Arytmetyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 357
Rejestracja: 14 sty 2014, o 23:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 105 razy
Pomógł: 41 razy

Ile jest takich liczb

Post autor: Arytmetyk »

Racja, teraz jak sobie to rozpisałem to wydaje się to oczywiste, że \(\displaystyle{ 9 \cdot 10^2}\) i ta ostatnia sytuacja wyczerpuje wszystkie
Andreas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1130
Rejestracja: 1 lis 2008, o 22:33
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 72 razy
Pomógł: 156 razy

Ile jest takich liczb

Post autor: Andreas »

Arytmetyk pisze:2. Na ile sposobów można ustawić dwa króle na szachownicy o wymiarach n na m tak, aby nie stały na sąsiadujących polach?
Ja to widzę tak:
\(\displaystyle{ {n \cdot m \choose 2}\cdot 2!}\) - na tyle sposobów można ustawić dwa króle na szachownicy \(\displaystyle{ n \times m}\)
\(\displaystyle{ n \cdot (m-1)\cdot 2!}\) - na tyle sposobów można ustawić dwa króle sąsiadujące "pionowo"
\(\displaystyle{ m \cdot (n-1)\cdot 2!}\) - ... "poziomo"
\(\displaystyle{ (n-1) \cdot (m-1)\cdot 2 \cdot 2!}\) - ... pod skosem
Więc ostatecznie mamy:
\(\displaystyle{ \left({n \cdot m \choose 2}-n \cdot (m-1)-m \cdot (n-1)-(n-1) \cdot (m-1)\cdot 2\right) \cdot 2}\)

Sprawdźmy np. dla szachownicy 2x3. Można łatwo policzyć, że będzie 8.
\(\displaystyle{ \left({2 \cdot 3 \choose 2}-2 \cdot (3-1)-3 \cdot (2-1)-(2-1) \cdot (3-1)\cdot 2\right) \cdot 2= \\
\left({6 \choose 2}-2 \cdot 2-3 \cdot 1-1 \cdot 2\cdot 2\right) \cdot 2=\\
(15-4-3-4)\cdot 2=(15-11) \cdot 2=8}\)
ODPOWIEDZ