Zamiana funkcji rekurencyjnej na zwykłą

[QwwQ]

Dzień dobry. Mam zadanie do roziwązania, lecz w pewnym miejscu się zatrzymałem, bo nie wiem jak mam postąpić. Nie będę pisał treści zadania, rozpocznę odrazu od problemu. Więc znalazłem funkcję rekurencyjną:
\(\displaystyle{ Z(0) = 1;\\
Z(1) = 2;\\
Z(3) = 12;\\
Z(n) = Z(n-1) + 9n - 8;}\)
Z niej ułożyłem tabelkę:
\(\displaystyle{ n \quad Z(n)\\
0 \quad 1\\
1 \quad 2\\
2 \quad 12\\
3 \quad 31\\
4 \quad 59\\
5 \quad 96\\
6 \quad 142\\
7 \quad 197\\
8 \quad 261}\)


Kilka dni siedzę nad tym zadaniem i nic... Nie mogę zauważyć zależności. Co mam robić, by znaleźć funkcję \(\displaystyle{ Z(n)}\)?

Dziękuję.

[mdd]

Najprościej zrobić to metodą przewidywań.

Załóżmy, że:

\(\displaystyle{ Z(n)=an^2+bn+c \qquad \implies Z(n-1)=a\left( n-1\right) ^2+b\left( n-1\right) +c}\)

Stąd:

\(\displaystyle{ Z(n)-Z(n-1)=\left( an^2+bn+c\right)- \left( a\left( n-1\right) ^2+b\left( n-1\right) +c\right)}\)

Z definicji wiemy, że: \(\displaystyle{ Z(n) = Z(n-1) + 9n - 8 \qquad \implies Z(n)-Z(n-1)=9n - 8}\)

Podsumowując:

\(\displaystyle{ \begin{cases} Z(n)-Z(n-1)=9n - 8=f(n) \\Z(n)-Z(n-1)=\left( an^2+bn+c\right)- \left( a\left( n-1\right) ^2+b\left( n-1\right) +c\right)=g(n)\end{cases}}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ f(n) \equiv g(n)}\) to trzeba porównać odpowiednie współczynniki w obu wyrażeniach... no i jeszcze trzeba skorzystać z warunku początkowego:

\(\displaystyle{ Z(0)=1}\)

[QwwQ]

Dziękuję za pomoc!
Takie sposobu się nie uczyliśmy, więc mam pewne trudności.
Przyrównałem \(\displaystyle{ f(n)}\) i \(\displaystyle{ g(n)}\) i otrzymałem:
\(\displaystyle{ 2an-a+b = 9n-8;}\)
Nie rozumiem, w jaki sposób muszę skorzystać z \(\displaystyle{ Z(0)}\).

[mdd]

Przyrównałem \(\displaystyle{ f(n)}\) i \(\displaystyle{ g(n)}\) i otrzymałem:
\(\displaystyle{ 2an-a+b = 9n-8;}\)

\(\displaystyle{ 2an-a+b \equiv 9n-8 \quad \implies \ \begin{cases} 2a=9\\ a-b=8\end{cases} \quad \implies \begin{cases} a=?\\ b=?\end{cases}}\)

Nie rozumiem, w jaki sposób muszę skorzystać z \(\displaystyle{ Z(0)}\).

Gdy już wyznaczymy współczynniki \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), to zauważamy, że aby podać funkcję \(\displaystyle{ Z(n)}\) w sposób jawny, brakuje nam współczynnika \(\displaystyle{ c}\)... no i wyznaczamy ten współczynnik z warunku początkowego \(\displaystyle{ Z(0)=1}\) w naszym przypadku.

[QwwQ]

mdd, diękuję bardzo! Otrzymałem prawidłową funkcję! Bardzo mocno pomogłeś!