Liczba czterocyfrowa

[Consolidaa]

Ze zbioru cyfr {1,2,3,4,5,6,7,8,9} losujemy kolejno bez zwracania cztery cyfry, a następnie układamy je w kolejności losowania w liczbę czterocyfrową.
a) Ile w ten sposób można utworzyć liczb, w których cyfr tysięcy jest parzysta, a cyfra dziesiątek jest nieparzysta?
b) Ile w ten sposób można utworzyć liczb większych od 4500?

[93Michu93]

Ad a)
Mamy 4 cyfry parzyste i 5 nieparzystych.
Na pierwsze miejsce możemy wziąć jedną z 4 cyfr, a na trzecie jedną z 5 cyfr.
Zostają jeszcze dwa miejsca i 7 cyfr więc wybieramy \(\displaystyle{ 7 \choose 2}\) i można je jeszcze zamieniać miejscami więc trzeba pomnożyć przed \(\displaystyle{ 2!}\)

Odp. \(\displaystyle{ 4 \cdot 5 \cdot}\) \(\displaystyle{ 7 \choose 2}\) \(\displaystyle{ \cdot 2!}\)

Tak bym to zrobił ale zaczekaj jeszcze, może ktoś potwierdzi lub poprawi


W podpunkcie b) trzeba by to rozłożyć na dwa albo trzy przypadki. Pierwszy, że wybieramy na pierwsze miejsce cyfrę 5 lub 6 lub 7 lub 8 lub 9 i na pozostałe wybieramy z ośmiu cyfr trzy i znowu możemy mieszać czyli \(\displaystyle{ 5 \cdot}\) \(\displaystyle{ 8 \choose 3}\) \(\displaystyle{ \cdot 3!}\).

Drugi przypadek wybieramy na pierwsze miejsce 4 na drugie 5 i reszta dowolna czyli \(\displaystyle{ 1 \cdot 1 \cdot}\) \(\displaystyle{ 7 \choose 2}\)\(\displaystyle{ \cdot 2!}\) tylko, że teraz policzyliśmy przypadek liczby 4500, a miały być większe więc trzeba by jedną możliwość odjąć.

Trzeci przypadek wybieramy 4 na pierwsze miejsce, na drugie bierzemy którą z cyfr większych od 5 czyli 4 możliwości. Dwa pozostałe miejsca dowolne zatem \(\displaystyle{ 1\cdot 4 \cdot}\) \(\displaystyle{ 7 \choose 2}\) \(\displaystyle{ \cdot 2!}\)

Jak wszystko dodasz to powinna wyjść ile może być liczb większych od 4500, ale jak pisałem wyżej, fajnie gdyby ktoś potwierdził albo poprawił

[kropka+]

Drugi przypadek wybieramy na pierwsze miejsce 4 na drugie 5 i reszta dowolna czyli \(\displaystyle{ 1 \cdot 1 \cdot}\) \(\displaystyle{ 7 \choose 2}\)\(\displaystyle{ \cdot 2!}\) tylko, że teraz policzyliśmy przypadek liczby 4500, a miały być większe więc trzeba by jedną możliwość odjąć.

Nie będzie 4500, bo nie ma zer do wylosowania. Ponadto ostatnie dwa przypadki można połączyć, czyli na pierwszym miejscu 4 a na drugim jedna z liczb 5,6,7,8,9. Wtedy dostajemy \(\displaystyle{ 5 {7 \choose 2}2!}\)

Reszta dobrze.