Maksymalna liczba krawędzi

VillagerMTV · Post autor: **VillagerMTV** » 17 lut 2014, o 16:59

Proszę o pomoc w zadaniu:
Jaką maksymalnie liczbę krawędzi może mieć wielościan wypukły o 15 wierzchołkach?

Wiem, że jest taki wzór:
\(\displaystyle{ s+w-k=2}\), gdzie:
s - liczba ścian, w - liczba wierzchołków, k - liczba krawędzi. Ale z tego nie wyjdzie dokładnie, bo jest za dużo niewiadomych.-- 18 lut 2014, o 17:29 --Nikt nie wie jak rozwiązać?

kerajs · Post autor: **kerajs** » 19 lut 2014, o 19:46

Najwięcej krawędzi ma wielościan którego ściany są trójkątami (bo każdy wielokąt można podzielić na trójkąty tworząc dodatkowe krawędzie)
Każdy trójkąt ma trzy krawędzie, ale każda z nich jest wspólna z sąsiadującą ścianą. Tak więc na każdą ścianę przypada 1,5 krawędzi.
Stąd równanie
\(\displaystyle{ \frac{2}{3}k +15-k=2}\)
daje maksymalna ilość krawędzi dla 15-wierzchołkowego wielościanu.
Inną sprawa jest czy taki wielościan istnieje