Proste zadania - rozmieszczenie kul w pudełkach

[TedMosby]

Witam. Mam parę próbnych prostych zadań dotyczących kombinatoryki

Jaka jest:
1. Liczba sposobów jakimi można rozmieścić 5 ponumerowanych kul w 2 identycznych pudełkach tak, aby żadne pudełko nie pozostało puste?
2. Liczba sposobów jakimi można rozmieścić 6 identycznych kul w 5 ponumerowanych pudełkach?
3. Liczba sposobów jakimi można rozmieścić 6 ponumerowanych kul w 2 ponumerowanych pudełkach tak, że w każdym pudełku znajdą się 3 kule?

Proszę też o wyjaśnienie dlaczego tak.

[loitzl9006]

Ad. 1)
Możliwe opcje
- wszystkie kule do jednego pudełka - można tak zrobić dokładnie na \(\displaystyle{ 1}\) sposób bo pudełka nierozróżnialne więc wszystko jedno do którego włożymy - i tak efekt będzie taki sam
- cztery kule do jednego pudełka, a jedna do drugiego - można tak zrobić na \(\displaystyle{ 5}\) sposobów (tak dlatego, że trzeba wybrać tę jedną kulkę (z pięciu) która powędruje do jednego pudełka, a reszta i tak pójdzie do drugiego
- trzy kule do jednego, a dwie do drugiego - można tak rozmieścić na \(\displaystyle{ {5 \choose 3}}\) sposobów - wybierasz trzy kulki z pięciu i wkładasz je do jednego z pudełek. Przy losowaniu kulek kolejność losowanie nie ma znaczenia więc korzystasz z kombinacji

Razem \(\displaystyle{ 1+5+ {5 \choose 3}=16}\) sposobów

Ad. 2)
- w jednym pudełku wszystkie kule (na \(\displaystyle{ 5}\) sposobów bo \(\displaystyle{ 5}\) różnych pudełek do wyboru)
- w jednym pudełku jedna kula, w drugim pięć kul, reszta puste (na \(\displaystyle{ 5\cdot 4}\) sposobów bo na \(\displaystyle{ 5}\) sposobów wybierasz pudełko do którego wrzucisz jedną kulę, i na cztery sposoby wybierasz pudełko w którym będzie pięć kul). Alternatywnie (ale na to samo wyjdzie) - na \(\displaystyle{ {5 \choose 3} \cdot 2}\) sposobów wybierasz puste pudełka, a w pozostałych dwóch możesz rozmieścić kule w układzie \(\displaystyle{ 1+5}\) na dwa sposoby
- w jednym pudełku dwie, a w drugim cztery - tutaj podobnie jak wyżej \(\displaystyle{ 5\cdot 4}\) sposobów
- w dwóch pudełkach po trzy kule - wybierasz dwa pudełka z pięciu a więc kombinacja \(\displaystyle{ {5 \choose 2}}\) czyli \(\displaystyle{ 10}\) sposobów
- w jednym pudełku cztery kule, a w dwóch pudełkach po jednej kuli - \(\displaystyle{ 5\cdot {4 \choose 2}}\) sposobów - na \(\displaystyle{ 5}\) sposobów wybierasz pudełko z czterema kulami, a spośród pozostałych czterech pudełek wybierasz dwa takie w których będzie po jednej kulce - kombinacja \(\displaystyle{ 2}\) z \(\displaystyle{ 4}\)
- w jednym pudełku trzy kule, w drugim dwie, w trzecim jedna - tutaj będzie \(\displaystyle{ 5\cdot 4\cdot 3}\) sposobów
- w jednym pudełku trzy kule, w trzech pudełkach po jednej kuli - na \(\displaystyle{ 5\cdot {4 \choose 3}}\) sposobów - wybierasz najpierw pudełko w którym będą \(\displaystyle{ 3}\) kule, a potem trzy pudełka z czterech (kolejność wyboru nie ma znaczenia więc kombinacja) w których umieścisz po jednej kuli
- w trzech pudełkach po dwie kule - \(\displaystyle{ {5 \choose 3}}\) sposobów - wybierasz pudełka w których mają się znaleźć dwie kulki
- w dwóch pudełkach po dwie kule, w dwóch kolejnych po jednej kuli to będzie \(\displaystyle{ {5 \choose 2}\cdot {3 \choose 2}}\) sposobów
- w jednym pudełku dwie kule, w pozostałych czterech - po jednej kuli - tutaj \(\displaystyle{ 5}\) sposobów takiego rozmieszczenia (dlaczego?)
Razem \(\displaystyle{ 210}\) sposobów jak dobrze liczę

Ad. 3)
\(\displaystyle{ {6 \choose 3} \cdot 2}\) sposobów: na \(\displaystyle{ {6 \choose 3}}\) sposobów wybierasz trzy z sześciu kulek (kolejność bez znaczenia więc kombinacja) i umieszczasz taką kombinację kulek w jednym z dwóch pudełek (pudełko możesz wybrać na \(\displaystyle{ 2}\) sposoby)

polecam ten artykuł 323179.htm tu są ładnie omówione takie zagadnienia tam masz łatwiejszy sposób obliczenia 2 punktu