Liczba rozmieszczeń kul w urnach - gdzie popełniam błąd?

[rdmmdr]

Próbuję sobie policzyć na ile sposobów można 4 kulki wrzucić do 4 urn, tak, aby było niepustych \(\displaystyle{ i \in \{1..4\}}\) urn.

Dla \(\displaystyle{ i=1}\) liczę
\(\displaystyle{ {4 \choose 1} \cdot 1^4}\) // wybieram która urna, i każda kulka musi do niej trafić

Dla \(\displaystyle{ i=2}\) liczę
\(\displaystyle{ {4 \choose 2} \cdot 2^4 - {4 \choose 1} \cdot 1^4}\) // wybieram które dwie urny i każda kula musi trafić do jednej z tych dwóch, odjąć przypadki że wszystkie kulki trafią do tylko jednej urny

Dla \(\displaystyle{ i=3}\) liczę
\(\displaystyle{ {4 \choose 3} \cdot 3^4 - {4 \choose 2} \cdot 2^4}\) // wybieram trzy i odejmuję przypadki, że wszystkie trafią do co najwyżej dwóch urn

Dla \(\displaystyle{ i=4}\) liczę
\(\displaystyle{ {4 \choose 4} \cdot 4^4 - {4 \choose 3} \cdot 3^4}\) // wybieram wszystkie cztery i odejmuję przypadki, że kule pójdą do co najwyżej trzech urn

I tu mi się psuje, bo dla \(\displaystyle{ i=4}\) wychodzi \(\displaystyle{ 4^4 - 4 \cdot 3^4 = 256 - 4 \cdot 81 = 256 - 324 = ...}\) czyli to jednak jest źle.
Ale nie mam pojęcia co źle liczę.
Proszę o podpowiedź, jaki błąd popełniam?

[mortan517]

Edit: Pierwszą kulkę możesz wrzucić na \(\displaystyle{ 4}\) sposoby, drugą na \(\displaystyle{ 3}\) itd.

[rdmmdr]

Chyba się nie zrozumieliśmy. W każdej urnie może być dowolnie wiele kulek, w szczególności w pierwszej mogą być np. 4, a wszystkie pozostałe urny mogą być puste. (to jest jeden z przypadków dla i=1)

[mortan517]

Podałem sposób rozumowania tam, gdzie wychodzi ci ujemna liczba.

[vpprof]

Dla \(\displaystyle{ i=2}\) liczę
\(\displaystyle{ {4 \choose 2} \cdot 2^4 - {4 \choose 1} \cdot 1^4}\) // wybieram które dwie urny i każda kula musi trafić do jednej z tych dwóch, odjąć przypadki że wszystkie kulki trafią do tylko jednej urny

Zauważ, że po lewej stronie masz kilkukrotnie zliczone przypadki wpadnięcia do jednej i tej samej urny, a w tym co odejmujesz już nie. Lewa strona zlicza np. wybranie urn 1 i 2 — tu mogą być wszystkie w urnie 1 albo w urnie 2, potem wybranie urn 1 i 3 — tu znów mogą być wszystkie w urnie 1 itd.