przekształcenie sumy

[MikolajB]

Czy ktoś może mi powiedzieć czy dobrze przekształciłem tzn.:

czy \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}k ^{2}{n\choose k} = 2 ^{n-2} \left( n ^{2}- \frac{n}{2} \right)}\) ?

i jak policzyć \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}k2 ^{k}{n\choose k}}\)?

[Qń]

W pierwszym gołym okiem widać, że jest źle, bo lewa strona jest liczbą całkowitą, a prawa dla \(\displaystyle{ n=1}\) nie.

W drugim wystarczy skorzystać z równości:
\(\displaystyle{ k\binom nk = n\binom{n-1}{k-1}}\)
i wzoru dwumianowego Newtona.

Q.

[MikolajB]

Przepraszam, w pierwszym po prawej stronie powinno być:

\(\displaystyle{ (n-1)n2 ^{n-2} + n2 ^{n-1}}\)

[Qń]

Teraz się zgadza.

Q.

[MikolajB]

Czy w drugim ma wyjść coś w rodzaju:

\(\displaystyle{ n3 ^{n}+n2 ^{n}}\)?

[Qń]

Zawsze wynik warto sprawdzić dla małych \(\displaystyle{ n}\) - u Ciebie nie zgadza się już dla \(\displaystyle{ n=1}\).

Q.

[MikolajB]

To jak to przekształcić?

Trzeba rozbić na \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n-1}2 ^{k}n{n-1 \choose k-1} + n2 ^{n}{n-1 \choose n-1}}\)?

[Qń]

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}k2 ^{k}\binom nk=\sum_{k=1}^{n}k2 ^{k}\binom nk=2n\sum_{k=1}^{n}2 ^{k-1}\binom{n-1}{k-1}=\\ =2n\sum_{k=0}^{n-1}2 ^{k}\binom{n-1}{k}=2n \cdot (2+1)^{n-1}=2n3^{n-1}}\)

Q.

[MikolajB]

Okej, już widzę, dziekuję.