Kilka zadań do sprawdzenia

[nerx2]

Witam, mam prośbę o sprawdzenie paru zadań

1. w grupie 100 studentów 45 uprawia koszykówkę, 53 pływanie , 55 szachy. Tych, którzy graja w koszykówkę i pływają jest 28, tych co graja w kosz i szachy jest 32, takich co graja w szachy i pływają jest 35 a takich co uprawiają wszystkie trzy sporty jest 20. Ilu studentów nie uprawia ani koszykówki ani pływania?

\(\displaystyle{ (K)=45, (P)=53, (S)=55}\)
\(\displaystyle{ (K \cap P)=28, (K\cap S)=32, (P\cap S)=35, (K \cap P \cap S)=20}\)
\(\displaystyle{ (K)+(P)+(S)-(K \cap P)-(K \cap S) - (P \cap S)+(K \cap P \cap S)}\)
\(\displaystyle{ 45+53+55-32-35-28+20 = 58}\)

2. Rycerze króla Artura. Za okrągłym stołem króla Artura zasiada 12 rycerzy. Każdy z nich nienawidzi obu swoich sąsiadów. Należy wybrać 5 rycerzy, aby uwolnili zaczarowaną księżniczkę. Iloma sposobami można to tak zrobić, by wśród wybranych rycerzy nie było antagonistów.
\(\displaystyle{ {12 \choose 6} - {12 \choose 5}}\)

3. Rzucamy jednocześnie 3 kostkami do gry. Ile jest możliwości otrzymania:
a)nie parzystą liczbę oczek
\(\displaystyle{ 3^{3} = 27}\)
b)parzystego iloczynu liczby oczek
\(\displaystyle{ 6^{3}-3^{3}=216-27=189}\)
c)iloczynu liczby oczek podzielnego przez 3
\(\displaystyle{ \frac{6^{3}}{3}=72}\)

4. Z talii 52 kart wyjęto 10 kart:
a) W ilu przypadkach, wśród tych kart znajdzie się co najmniej jedna dama i jeden walet?
\(\displaystyle{ {8 \choose 2} \cdot {44 \choose 8}}\)
b) dokładnie 5 kart koloru czerwonego?
\(\displaystyle{ {26 \choose 5} \cdot {26 \choose 5}}\)
c) co najwyżej 4 kiery?
\(\displaystyle{ {13 \choose 4} \cdot {39 \choose 6}}\)
d) co najmniej jeden as
\(\displaystyle{ {4 \choose 1} \cdot {48 \choose 9}}\)
e) dokładnie 1 as
\(\displaystyle{ {49 \choose 10}}\)
f) mniej niż 2 asy
\(\displaystyle{ {51 \choose 10}}\)

5. W skład pięcioosobowej komisji mogą wejść przedstawiciele dziesięciu narodowości. Na ile sposobów można wybrać komisje tak aby nie składała się z przedstawicieli jednej narodowości
\(\displaystyle{ {14 \choose 5} - 10}\) czy \(\displaystyle{ {10 \choose 5} - 10}\)


Dziękuje i pozdrawiam.

[piasek101]

4) Coś pomieszałeś (prawie we wszystkich podpunktach).
a) co najmniej jeden walet - to jeden dwa lub trzy lub cztery, do tego te damy

c) co najwyżej 4 kiery nie oznacza czterech - jak zrobiłeś

itp.

[nerx2]

No właśnie z 4 zadaniem już nie wiem, bo wszystko mi się pomyliło i już nie wiem... jak to powinno być?

[piasek101]

4. a) od wszystkich możliwości wylosowania 10 kart odejmujesz te gdzie nie ma damy ani waleta.

[nerx2]

A teraz jak to wygląda ?

a) W ilu przypadkach, wśród tych kart znajdzie się co najmniej jedna dama i jeden walet?
\(\displaystyle{ {52 \choose 10} - {44 \choose 10}}\) ?
b) dokładnie 5 kart koloru czerwonego?
\(\displaystyle{ {26 \choose 5} \cdot {26 \choose 5}}\)
c) co najwyżej 4 kiery?
\(\displaystyle{ {13 \choose 0} \cdot {39 \choose 10} + {13 \choose 1} \cdot {39 \choose 9} + {13 \choose 2} \cdot {39 \choose 8} + {13 \choose 3} \cdot {39 \choose 7} + {13 \choose 4} \cdot {39 \choose 6}}\)
d) co najmniej jeden as
\(\displaystyle{ 1 - {48 \choose 10}}\) czy \(\displaystyle{ 1 - \frac{ {48 \choose 10}}{{52 \choose 10}}}\) ?
e) dokładnie 1 as
\(\displaystyle{ {4 \choose 1} \cdot {48 \choose 9}}\)
f) mniej niż 2 asy
\(\displaystyle{ {4 \choose 0} \cdot {48 \choose 10}+{4 \choose 1} \cdot {48 \choose 9}}\)

[piasek101]

d) nie odejmuj od 1 - to nie prawdopodobieństwo

Reszta raczej ok.

[nerx2]

Ok dzięki bardzo.

Czyli coś takiego?
\(\displaystyle{ {48 \choose 10}-{4 \choose 1}}\) ?


A co z resztą zadań?
W pierwszym pomyliłem się, bo powinno być
\(\displaystyle{ 45+53+55-32-35-28+20 = 78}\)
\(\displaystyle{ 100-78=22}\)

Drugie i trzecie bym zostawił, ale nie wiem dalej czy mam dobrze i w 5 zadaniu wiem, że być, tylko nie wiem czy tak:
\(\displaystyle{ {14 \choose 5} - 10}\) czy tak \(\displaystyle{ {14 \choose 5}}\)

[piasek101]

d) nie. Jeden as, dwa, trzy lub cztery. Albo od wszystkich odjąć te bez asów.