sposób rozwiązania

[MikolajB]

Zadanie brzmi:

Dla \(\displaystyle{ n \in N}\) oblicz wartość sumy:

\(\displaystyle{ S _{n}=\sum_{k=0}^{n} (k ^{2}-k+3 ^{k}){n\choose k}}\)

I teraz pytanie, robiąc to funkcjami tworzącymi, jeden sposób to pochodne (jeszcze go nie przerabiałem), a drugi który też był stosowany do liczenia takich sum, to po prostu rozpisanie

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }S _{n}x ^{n}= \sum_{n=0}^{ \infty }(n ^{2}+n+3 ^{n}){n\choose n}}\) ? Właśnie tego symbolu newtona nie jestem pewien czy tak można, dalsza droga to oczywiście zamiana poszczególnych sum i dojście do postaci: \(\displaystyle{ \frac{2}{(1-x) ^{3} }- \frac{4}{(1-x) ^{2} }+ \frac{2}{1-x}+ \frac{1}{1-3x}}\). Teraz dzielę wszystko przez \(\displaystyle{ (1-x)}\) i wracam na sumy, żeby policzyć co stoi przy \(\displaystyle{ x ^{n}}\)

Czy ten sposób jest poprawny dla takiego typu zadania?

[vpprof]

Zasadniczo \(\displaystyle{ {n \choose n} =1}\) to co innego niż \(\displaystyle{ {n \choose k}}\). Zamiast sumować po \(\displaystyle{ n}\), oznacz to jakoś inaczej, np. \(\displaystyle{ k}\).

\(\displaystyle{ \sum_{k \ge 0}S _{k}x ^{k}= \sum_{k \ge 0}(k ^{2}+k+3 ^{k}){n\choose k}x^k}\)