Znajdź ciąg mając daną funkcję tworzącą.

[1608]

Mam znaleźć ciąg którego funkcja tworząca jest \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x^2-4x+4}}\). Zwykle radziłem sobie tak że rozbijałem ten ułamek i przekształcałem sobie odpowiednie ułamki tak, żeby wyszedł mi wzór na sume szeregu geometrycznego. Tutaj nie wiem jak się do tego zabrać. Bardzo proszę o wskazówki i pomoc.

[a4karo]

\(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{(x-2)^2}}\). Znajdź funkcję tworzącą dla \(\displaystyle{ \frac{1}{x-2}}\) i podnieś ją do kwadratu.

[Qń]

Wiadomo, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2-x}= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{n+1}}\cdot x^n}\)
(dla odpowiednio małych \(\displaystyle{ x}\) oczywiście)

Wystarczy teraz zróżniczkować stronami tę równość - po lewej dostaniesz tę funkcję o którą Ci chodzi, a z prawej strony odczytasz ciąg.

Można też pokazać, że w ogólności zachodzi wzór:
\(\displaystyle{ \frac{1}{(1-z)^c}= \sum_{n\ge 0} \binom{c+n-1}{n}z^n}\)

Q.

[1608]

Czyli jak różniczkuje stronami to będzie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2-x}= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{n+1}}\cdot x^n}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{(2-x)^{2}}= -\sum_{n=0}^{\infty}(-n-1)\cdot 2^{-n-2}\cdot x^n + n\cdot x^{n-1}2^{(-n-1)}}\)

Jak teraz odczytać z tego wzór na \(\displaystyle{ a_{n}=....}\) ?

[Qń]

Nie tak.

Różniczkujesz po zmiennej \(\displaystyle{ x}\), a \(\displaystyle{ n}\) to stała.

Q.

[1608]

Mogę prosić o podpowiedź jak to zrobić? Nigdy nie różniczkowałem szeregów, a muszę jakoś rozwiązać to zadanie z tą funkcją tworzącą.

[Qń]

A wiesz ile jest równa pochodna z \(\displaystyle{ x^n}\)?

A z \(\displaystyle{ 5\cdot x^n}\)?

A z \(\displaystyle{ \frac{1}{2^{n+1}}\cdot x^n}\)?

Q.

[1608]

A już widzę głupi błąd, czyli będzie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2-x}= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{n+1}}\cdot x^n}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{(2-x)^{2}}= -\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{n+1}}n\cdot x^{(n-1)}}\)
Czyli wzór mojego ciągu to będzie?
\(\displaystyle{ a_n=-\frac{n}{2^{n+1}}}\)

[Qń]

A skąd wziął się minus?

Poza tym nawet gdyby było prawidłowo, czyli bez minusa, to i tak napisałeś co stoi przy \(\displaystyle{ x^{n-1}}\), więc co najwyżej pokazujesz wzór na \(\displaystyle{ a_{n-1}}\), a nie \(\displaystyle{ a_n}\).

Q.

[1608]

Muszę być bardziej uważny nie powinno być minusa.
Czyli wzór na \(\displaystyle{ a_n}\) będzie wyglądał:
\(\displaystyle{ a_n=\frac{n+1}{2^{n+2}}}\) ?

[Qń]

Zgadza się.

Q.

[1608]

Dziękuje za pomoc, dużo mi to wyjasniło.