Rzuty monetą

[arek1]

Witam.
Ile wynosi prawdopodobieństwo, że w 10 rzutach symetryczną monetą, liczba uzyskanych reszek bedzie większa od liczby uzyskanych orłów?

Dobrze myślę, że jest równe po prostu \(\displaystyle{ 0,5}\)?

[mortan517]

Nie. Najlepiej wykorzystać tu schemat Bernoulliego.

[arek1]

Mógłbyś zaprezentować jakby wyglądało podstawienie w tym przypadku?

[mortan517]

Ogólnie rzecz biorąc jest tak:
n - liczba rzutów monetą
k - liczba sukcesów
p i q - prawdopodobieństwo sukcesu, porażki

\(\displaystyle{ P_{10} (k>5) = P_{10} (k=6) + P_{10} (k=7) + P_{10} (k=8) + P_{10} (k=9) + P_{10} (k=10)}\)

[arek1]

bo mam wyliczyć dla 2002 rzutów, ale to chyba będzie okropnie długie :/
/pomożesz?

[mortan517]

Na wszystko jest sposób. Najpierw uprościmy lekko wzór na potrzeby zadania
\(\displaystyle{ P_{n} (k) = {n \choose k} q^k p^{n-k} = {n \choose k} \left( \frac{1}{2} \right) ^k \left( \frac{1}{2} \right) ^{n-k} = {n \choose k} \left( \frac{1}{2} \right) ^n}\)


\(\displaystyle{ P_{2002} (k>1001) = P_{2002} (k=1002) + P_{2002} (k=1003) + ... + P_{2002} (k=2002) =
{2002 \choose 1002} \left( \frac{1}{2} \right) ^{2002}
+ {2002 \choose 1003} \left( \frac{1}{2} \right) ^{2002} + ... +
{2002 \choose 2002} \left( \frac{1}{2} \right) ^{2002} = \\
\left( \frac{1}{2} \right) ^{2002} \left[{2002 \choose 1002}+ {2002 \choose 1003} + ... +
{2002 \choose 2002} \right] = \\ \left( \frac{1}{2} \right) ^{2002} \sum_{i=1002}^{2002} {2002 \choose i}}\)

[arek1]

Chcesz mi jeszcze powiedzieć, jak otrzymać z tego wynik?-- 27 sty 2014, o 01:05 --wychodzi, że będzie ostro mniejsze od 0,1

[mortan517]

\(\displaystyle{ \sum_{i=1002}^{2002} {2002 \choose i} = \sum_{i=0}^{1000} {2002 \choose i}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{i=1002}^{2002} {2002 \choose i} + {2002 \choose 1001} + \sum_{i=0}^{1000} {2002 \choose i} = 2^{2002}}\)

\(\displaystyle{ 2 \sum_{i=1002}^{2002} {2002 \choose i} + {2002 \choose 1001} = 2^{2002}}\)

-- 27 sty 2014, o 01:12 --

\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2} \right) ^{2002} \left[ \frac{2^{2002} - {2002 \choose 1001}}{2} \right]}\)

Końcowy wynik. Można jeszcze upraszczać, ale takie coś mniej więcej.

-- 27 sty 2014, o 01:16 --

W sensie, że wynik? Można jeszcze wklepać w mianownik:

\(\displaystyle{ \frac{2^{2002} - {2002 \choose 1001}}{2^{2003}} \right}\)


Czy w sensie całego zadania? Bo jeśli całe zadanie to nie za bardzo. Przynajmniej ja jako licealista nic innego nie widzę.

[arek1]

masz może jakiś magiczny program, który policzyłby/przybliżyłby to?

[mortan517]

\(\displaystyle{ \frac{2^{2002} - {2002 \choose 1001}}{2^{2003}} \right =
\frac{2^{2002}}{2^{2003}} - \frac{{2002 \choose 1001}}{2^{2003}} \right = \frac{1}{2} - \frac{{2002 \choose 1001}}{2^{2003}} \right}\)

Proszę bardzo

Kod: Zaznacz cały

http://www.wolframalpha.com/input/?i=frac{1}{2}+-+frac{{2002+choose+1001}}{2^{2003}}+
ight&dataset=

Prawie \(\displaystyle{ 0,5}\)