Suma z symbolem Newtona

[matematyk1995]

\(\displaystyle{ (\frac{1}{2}) ^{n}\left( {n \choose n} + {n \choose n-1} + {n \choose n-2} +...+ {n \choose \frac{n}{2} +1} \right)=...}\)
Gdzie, \(\displaystyle{ n \in \NN}\) i \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste.
Jak to obliczyć?
Czy to będzie powiązane z dwumianem Newtona?

[mortan517]

Liczb parzystych więcej niż nieparzystych, czy reszka więcej razy niż orzeł ?

\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2} \right)^n \cdot \sum_{i= \frac{n}{2}+1 }^{n} {n \choose i}}\)

[matematyk1995]

To drugie
A tą sumę da się jeszcze prościej zapisać, czy tak można zostawić?

[yorgin]

Wskazówki (istotnie pomocne):

\(\displaystyle{ {n\choose k}={n\choose n-k}\\
\\
\sum\limits_{k=0}^n {n\choose k}=2^n}\)

[matematyk1995]

\(\displaystyle{ {n \choose \frac{n}{2}+1}= {n \choose n-k}}\)
Jakiej postaci będzie \(\displaystyle{ k}\)?
Nie wiem jak to przekształcić.



Wolfram nic nie pokazuje.

[vpprof]

Nie skorzystałeś ze wskazówki nr 2 yorgina.

Ze wskazówki nr 1 wynika że: \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{ \frac{n}{2}-1 } {n \choose k} = \sum_{k=\frac{n}{2}+1}^{ n } {n \choose k}}\) a zatem \(\displaystyle{ 2^n= \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} =\sum_{k=0}^{ \frac{n}{2}-1 } {n \choose k}+ {n \choose \frac{n}{2} } +\sum_{k=\frac{n}{2}+1}^{ n } {n \choose k}=2\sum_{k=\frac{n}{2}+1}^{ n } {n \choose k}+ {n \choose \frac{n}{2} }}\).

Teraz podstawiając co trzeba do zadania:
\(\displaystyle{ 2^{-n} \cdot \sum_{k= \frac{n}{2}+1 }^{n} {n \choose k} =
2^{-n} \cdot \frac{2^n-{n \choose \frac{n}{2} }}{2} =
\frac{1}{2}- \frac{n!}{2^{n+1}\left( \frac{n}{2} \right)!^2 }}\)