jaka funkcja tworząca?

[MikolajB]

Witam, mam do znalezienia wzór ogólny ciągu: \(\displaystyle{ a _{n}=na _{n-1} + 1}\) z warunkiem początkowym \(\displaystyle{ a _{0}=1}\) i generalnie problem mam tylko z tym jak zapisać funkcją tworzącą ten element \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{} na _{n-1}x ^{n}}\) jak to przekształcić, nie wiem co z tym "enem" zrobić, jest na to jakiś wzór czy może trzeba to jakoś przekształcić, proszę o jakąś podpowiedź.

[Qń]

\(\displaystyle{ \sum_n na _{n-1}x ^{n}= x\cdot \sum_n na _{n-1}x ^{n-1} = x\cdot \sum_n a _{n-1}\left( x ^{n}\right) ' =\\ = x\cdot\left( \sum_n a _{n-1} x ^{n}\right) '= x\cdot\left(x\cdot \sum_n a _{n-1} x ^{n-1}\right) '= x\cdot (xf(x))'}\)

Ale jeśli chcesz rozwiązać rekurencję przy użyciu funkcji tworzących, to o wiele lepiej użyć wykładniczych funkcji tworzących:
\(\displaystyle{ g(x)= \sum_n a_n \frac{x^n}{n!}}\)

Q.

[MikolajB]

Dziękuję, jeszcze takie pytanie apropo rozkładu:

Jeśli dostaję postać funkcji tworzącej \(\displaystyle{ A(x)= \frac{5x ^{2}-3x+1 }{2x ^{3}+5x ^{2}-4x+1 }=\frac{5x ^{2}-3x+1 }{(x-1) ^{2}(1-2x)}}\) (czyli mam podwójny pierwiastek) to rozkładam według schematu \(\displaystyle{ \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{1-2x}}\) czy przy krotności pierwiastka innej niż 1 robi się to jakoś inaczej?

[vpprof]

Powinno być \(\displaystyle{ \frac{A}{\red{\left( x-1\right)^2} } + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{1-2x}}\) ale poza tym przyjęło się pisać \(\displaystyle{ \frac{1}{1-x}}\), bo tak jest po prostu łatwiej:
\(\displaystyle{ \frac{a}{1-cx}=a+acx+ac^2x^2+ac^3x^3+…}\)
a za to w tym przypadku wszystko jest z przeciwnym znakiem:
\(\displaystyle{ \frac{a}{cx-1}=-a-acx-ac^2x^2-…}\)

[MikolajB]

Rozumiem, że w przypadku \(\displaystyle{ \frac{1}{(1-x) ^{4} }}\) dostanę rozwinięcie \(\displaystyle{ \frac{A}{1-x}+ \frac{B}{(1-x) ^{2} }+ \frac{C}{(1-x) ^{3} }+ \frac{D}{(1-x) ^{4} }}\) tak?
dodatkowo zauważyłem, że w zależności jak zapiszę te pierwiastki w mianowniku (to znaczy np. \(\displaystyle{ (x-1)(1-2x)}\) napiszę jako \(\displaystyle{ (1-x)(2x-1)}\)) to wychodzą mi różne A, B, C i ponadto tylko jedno z takich przedstawień daje mi te "właściwe" A, B, C, a chyba nie powinno tak być, tylko właśnie nie wiem czy po prostu robię błąd w układzie równań, czy jest jakiś myk z tymi pierwiastkami

[vpprof]

Rozumiem, że w przypadku \(\displaystyle{ \frac{1}{(1-x) ^{4} }}\) dostanę rozwinięcie \(\displaystyle{ \frac{A}{1-x}+ \frac{B}{(1-x) ^{2} }+ \frac{C}{(1-x) ^{3} }+ \frac{D}{(1-x) ^{4} }}\) tak?

Co do zasady tak, ale zauważ, że w tym przypadku masz w mianowniku wielomian nierozkładalny podniesiony do czwartej potęgi, czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{(1-x) ^{4} }}\) jest już ułamkiem prostym. Sprawdź sam, że \(\displaystyle{ D=1,\ C=0,\ B=0,\ A=0}\).

dodatkowo zauważyłem, że w zależności jak zapiszę te pierwiastki w mianowniku (to znaczy np. \(\displaystyle{ (x-1)(1-2x)}\) napiszę jako \(\displaystyle{ (1-x)(2x-1)}\)) to wychodzą mi różne A, B, C i ponadto tylko jedno z takich przedstawień daje mi te "właściwe" A, B, C, a chyba nie powinno tak być, tylko właśnie nie wiem czy po prostu robię błąd w układzie równań, czy jest jakiś myk z tymi pierwiastkami

Raczej gdzieś robisz błąd. Jak chcesz możesz tu napisać swoje obliczenia.

[MikolajB]

Co do zasady tak, ale zauważ, że w tym przypadku masz w mianowniku wielomian nierozkładalny podniesiony do czwartej potęgi, czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{(1-x) ^{4} }}\) jest już ułamkiem prostym. Sprawdź sam, że \(\displaystyle{ D=1,\ C=0,\ B=0,\ A=0}\).

Nie za bardzo rozumiem ten argument o nierokładalności. Czy nie jest tak, że z \(\displaystyle{ \frac{1}{(1-x) ^{2} }= \frac{A}{(1-x) ^{2} } + \frac{B}{1-x}}\) , a w konsekwencji \(\displaystyle{ \frac{A+B-Bx}{(1-x) ^{2}}}\) i porównania współczynników też dostajemy \(\displaystyle{ A=1 \wedge B=0}\).